Question

Quantos números inteiros entre 1 e 100000 têm soma dos algarismos igual a 6?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

você vai ter que usar a fórmula da combinação com repetição,

CRn,k=$\frac{(n+k-1)!}{k!.(n-1)!}$

vamos pensar no número de um algarismo, o único caso possível é  o número 6. = número de casos = 1

agora vamos pensar nos números de 2 algarismos

CR2,5=(2+5-1)!/5!.1!=6!/5!=6.5!/5!=6

15, 24, 33, 42, 51, 60 = numero de casos = 6

agora vamos pensar nos números de 3 algarismos

CR3,5=(3+5-1)!/5!2!=7!/5!2!=21

105,114,123,132,141,150,204,

213,222,231,240,303,312,321,

330,402,411,420,501,510,600

em quatro algarismos

CR4,5= (4+5-1)!/5!.3!=56

em cinco algarismos

CR5,5=(5+5-1)!/5!.4!=9!/5!,4!=126

TOTAL=1+6+21+56+126=210

Answer 2

Utilizando formula de permutações, temos 80 números que possuem a soma de seus algarismos iguais a 6.

Explicação passo-a-passo:

Abaixo de 100 000 qualquer número possui 5 digitos, mesmo os que possuem 4 podemos simplesmente considerar que ele começa com 0, que é irrelevante, assim precisamos sempre ter 5 digitos que somados nos deem 6, desta forma existem as seguintes possibilidades:

1 1 1 1 2

1 1 1 0 3

1 1 0 0 4

1 0 0 0 5

0 0 0 0 6

Agora basta "embaralharmos" estas combinações usando as tecnicas de permutação, que tem formula dada por:

$P=\frac{n!}{r!}$

Onde 'n' é o número de digitos a se embaralhar e 'r' é o número de repetições de cada digito que se repete. Assim desta forma, temos:

1 1 1 1 2 (5 digitos, '1' se repete 4 vezes):

$P=\frac{5!}{4!}=5$

5 números desta forma.

1 1 1 0 3 (5 digitos, '1' se repete 3 vezes):

$P=\frac{5!}{3!}=5.4=20$

20 números desta forma.

1 1 0 0 4 (5 digitos, '1' se repete 2 vezes e '0' se repete 2 vezes):

$P=\frac{5!}{2!2!}=30$

30 números desta forma.

1 0 0 0 5 (5 digitos, '0' se repete 3 vezes):

$P=\frac{5!}{3!}=20$

20 números desta forma.

0 0 0 0 6 (5 digitos, '0' se repete 4 vezes):

$P=\frac{5!}{4!}=5$

5 números desta forma.

Agora basta somarmos todos estes valores:

5 + 20 + 30 + 20 + 5 = 80

Assim temos 80 números que possuem a soma de seus algarismos iguais a 6.