Question

Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença
$\frac{1}{x - 12} \geqslant \frac{1}{ 5 - x}$

Answer 1

Resolver a inequação

    $\mathsf{\dfrac{1}{x-12}\ge \dfrac{1}{5-x}}$

com $\mathsf{x\in \mathbb{Z_+^*}.}$

Os denominadores não podem se anular. Logo, devemos ter também

    $\mathsf{x\ne 5\quad e\quad x\ne 12.}$

Passe todos os termos para o mesmo lado da inequação:

    $\mathsf{\dfrac{1}{x-12}-\dfrac{1}{5-x}\ge 0}$

Reduza as frações ao mesmo denominador comum:

    $\mathsf{\dfrac{5-x}{(x-12)(5-x)}-\dfrac{x-12}{(x-12)(5-x)}\ge 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5-x-(x-12)}{(x-12)(5-x)}\ge 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5-x-x+12}{(x-12)(5-x)}\ge 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{17-2x}{(x-12)(5-x)}\ge 0\qquad (i)}$

Agora temos uma inequação-quociente. Vamos estudar os sinais de cada fator pelo quadro de sinais abaixo:

    $\large\begin{array}{ll}\mathsf{17-2x}&\mathsf{\qquad\overset{++++++++++}{\textsf{---------}\!\!\underset{5}{\circ}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\underset{\frac{17}{2}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{----------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{12}{\circ}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{x-12}&\mathsf{\qquad\overset{---------------}{\textsf{---------}\!\!\underset{5}{\circ}\!\!\textsf{---------}\!\!\!\underset{\frac{17}{2}}{\bullet}\!\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\underset{12}{\overset{0}{\circ}}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{5-x}&\mathsf{\qquad\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\underset{5}{\overset{0}{\circ}}\!\!\overset{----------------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{\frac{17}{2}}{\bullet}\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!\underset{12}{\circ}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\end{array}$

Fazendo o jogo de sinais para o quociente, temos

    $\large\begin{array}{ll}\mathsf{\dfrac{17-2x}{(x-12)(5-x)}}&\mathsf{\qquad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\underset{5}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{\frac{17}{2}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{12}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\end{array}$

Como queremos que o quociente seja maior ou igual a zero, o intervalo de interesse é

    $\mathsf{5<x\le \dfrac{17}{2}\quad ou\quad x>12.}$

Estamos interessados apenas nos inteiros estritamente positivos. Logo, o conjunto solução será

    $\mathsf{S=\{6,\,7,\,8\}\cup \{13,\,14,\,15,\,16,\,\ldots,\,n>12,\,\ldots\}}$

Resposta: Existem infinitas soluções inteiras que satisfazem a sentença.

Bons estudos! :-)