Question

Quantos números inteiros, de 100 a 1000, que não são divisíveis por 7 e 5?

Answer 1

2 respostas · Matemática

Melhor resposta

Primeiro você terá três PA's

1) números inteiros de 100 a 1000

2) divisivel por 5

3) divisivel por 7

Como o enunciado pede quantos números de 100 a 1000 não divisiveis por 5 nem 7, então depois basta subtrair.

1) an = a1 + (n - 1).r

an = 1000 (ultimo termo)

a1 = 100 (primeiro termo)

n = 900 (numero de termos)

r = 1, pois vai de um em um os números inteiros

sem conta já vimos que há 900 termos na PA 1.

2) an = a1 + (n - 1).r

a1 = 100 (primeiro numero divisivel por 5)

an = 1000 (ultimo numero divisivel por 5)

r = 5, pois de 5 em 5 há um numero divisivel por ele

n = vamos descobrir:

1000 = 100 + (n - 1).5

1000 = 100 + 5n - 5

1000 = 95 + 5n

905 = 5n

905 / 5 = n

181 = n

Bom descobrimos que há 181 números de 100 a 1000 divisiveis por 5.

3) an = a1 + (n - 1).r

an = 994

a1 = 105

r = 7

994 = 105 + (n - 1)7

994 = 105 + 7n - 7

994 - 98 = 7n

896 = 7n

128 = n

Mas temos que lembrar que pode haver número que é divisivel por 5 e 7 ao mesmo tempo:

São eles: 105, 140, 175, 210, 245, 280...

Bom reparando bem, você verá que a cada 35 termos há um termo divisivel pelos dois, então vamos fazer uma nova PA, pois assim diminuirá a qntidade de contas e veremos quantos numeros dividem os dois ao mesmo tempo:

an = a1 + (n - 1).r

980 = 105 + (n - 1).35

980 = 105 + 35n - 35

980 - 70 = 35n

26 = n

Bom sabemos que há 26 numeros divisiveis pelos dois.

Agora vamos as contas:

1) Há 900 números inteiros de 100 a 1000

2) Há 181 números inteiros divisiveis por 5 de 100 a 1000

3) Há 128 números inteiros divisiveis por 7 de 100 a 1000

4) Há 26 números inteiros divisiveis por 5 e 7 de 100 a 1000

Bom se somarmos os números divisiveis por 5 e por 7 teremos --> 181 + 128 = 309

desses 309, 26 numeros se repetem nas duas contas (na divisao por 5 e por 7), então

vamos subtrair 26 números; 309 - 26 = 283 números.

Já vimos que há 283 numeros divisiveis por 5 e por 7 e o enunciado quer somente os número inteiros que não são divisiveis por eles, basta substrair 283 de 900;

900 - 283 = 617

Portanto: RESPOSTA 617 número inteiros existem de 100 a 1000 que não são divisiveis nem por 5 nem por 7.

Espero que eu tenha ajudado e que você tenha entendido o meu raciocionio..