Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos) os números 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9?
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
=== Teoria ===
Esta pergunta é equivalente a descobrir quantos são os divisores do número formado pelo produto de todos os fatores, N = 1 x 5 x 6 x 7 x 7 x 9 x 9 x 9 = 1.071.630.
O número de divisores d(n) é dado por:
d(n) = ∏ (e(i) + 1)
onde e(i) são os i-ésimos expoentes da fatoração prima de n, excluindo o 1.
=== Cálculo ===
Como N já está fatorado, fica fácil calcular:
N = 5¹ x 6¹ x 7² x 9³
d(N) = (1+1) x (1+1) x (2+1) x (3+1)
d(N) = 2 x 2 x 3 x 4 = 48
=== Resposta ===
Podem ser formados 48 números diferentes, sendo todos eles divisores de 1.071.630.
=== Curiosidade adicional ===
A média geométrica dos divisores de N é √N. Portanto, podem ser formados 48 números diferentes, sendo todos eles divisores de 1.071.630 e tendo 1035,1956 como média geométrica.
A quantidade de números diferentes que podem ser formados é: 48.
Número de divisores
Para responder essa questão, o aluno deve compreender sobre os conceitos relacionados em como achar os números de divisores.
Segundo o exercício, o número N é equivalente a:
N = 1 x 5 x 6 x 7 x 7 x 9 x 9 x 9 = 1.071.630
Uma dica para facilitar a descoberta do número de divisores é aproveitar que N já está fatorado, pois sabemos que o número de divisores, ou seja, D(N), pode ser encontrado por:
D(N) = ∏ (e(i) + 1)
Onde e(i) são os i-ésimos expoentes da fatoração prima de n, exceto o 1.
Portanto, temos que:
N = 5¹ x 6¹ x 7² x 9³
D(N) = (1+1) x (1+1) x (2+1) x (3+1)
D(N) = 2 x 2 x 3 x 4 = 48
Com isso, todos esses 48 números serão divisores de N.
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