Question

Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?

Answer 1

Primeiramente, criemos números de 6 algarismos com o 3 e o 4 juntos, sem preocupar-nos com o 1 e o 2. Para garantir que os mencionados estejam juntos, considere-os como um bloco. Deste modo, há 2 possíveis blocos com o 3 e o 4, sendo estes blocos {3, 4} e {4, 3}. Agora basta permutar o bloco escolhido com os outros 4 dígitos:
$P_5 = 5! = 120$

Lembrando que há 2 modos de escolher o bloco:
$2 \cdot 120 = 240$

Contemos agora quantas destas 240 permutações têm o 1 e o 2 juntos. Basta formar um bloco com eles e permutar este bloco com os outros elementos (o bloco do 3 e o 4 e os 2 elementos restantes):
$P_4 = 4! = 24$

Lembrando que há 2 modos de escolher cada um dos blocos:

$2 \cdot 2 \cdot 24= 96$

Descontando das 240 permutações as que têm 1 e 2 juntos:
$240 - 96 = 144$

Há 144 números que cumprem os requisitos dados.