Question

Quantos números de quatro algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece exatamente duas vezes?

Answer 1

Resposta:

2020

0202

2002

0022

2200

Answer 2

Temos um total de 486 números de quatro algarismos nos quais o algarismo 2 aparece exatamente duas vezes.

Para responder corretamente a questão, é necessário aprender mais sobre Análise Combinatória.

Análise Combinatória

A Análise Combinatória analisa problemas matemáticos relacionados com a Contagem e a Exploração de Probabilidades de um certo evento ocorrer.

A análise dessas probabilidades é determinada pelo princípio fundamental da Contagem (ou princípio multiplicativo), que diz: "quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)".

Dentro das possibilidades de Análises Combinatórias, temos dois tipos de agrupamentos:

• Arranjos - quando os agrupamentos dependem da ordem e da natureza dos mesmos (ou seja, a combinação Azul/Verde é diferente da Verde/Azul). Nesse caso, considerando um Arranjo de n elementos agrupados p vezes (n > p), temos a seguinte expressão:

$A_{n,p} =\frac{n!}{(n-p)!}$

• Combinações - Quando os agrupamentos não dependem da ordem e da natureza dos mesmos (ou seja, as combinações Azul/Verde e Verde/Azul são iguais). Assim, para uma combinação de n elementos agrupados p vezes (n > p), temos a seguinte expressão:

$C_{n,p} =\frac{n!}{p!.(n-p)!}$

No caso da referida questão, primeiramente, temos que considerar o número de possibilidades (ou seja, de combinações possíveis) de agruparmos o número 2 em dois dos quatro espaços disponíveis, uma vez que essa é a condição imposta pela mesma.

Assim, considerando n=4 e p=2, a quantidade de maneiras diferentes (Q) em que podemos combinar o número 2 de acordo com as condições da questão será dada por:

$Q=C_{4,2} =\frac{4!}{2!.(4-2)!} \\\\Q=\frac{4!}{2!.2!}$

Considerando 4! = 1.2.3.4 e 2! = 2.1 = 2, temos:

$Q=\frac{4.3.2.1}{2.2} \\\\Q=\frac{4.3.2.1}{4} \\\\Q=3.2.1\\\\Q=6$

Uma vez determinado quantas combinações diferentes temos, devemos determinar, em cada uma dessas combinações, quantas possibilidades temos de preencher os outros dois espaços.

Considerando que desejamos saber quantos números de quatro algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece exatamente duas vezes, significa que temos nove algarismos diferentes possíveis de ser alocados em cada um dos dois espaços restantes. Assim, para cada combinação onde algarismo 2 aparece duas vezes, temos 9 x 9 = 81 possibilidades.

Dessa forma, o total de números de 4 algarismos formados onde o número 2 aparece duas vezes será de:

$Total=Q.81\\\\Total = 6.81\\\\Total = 486$

Saiba mais sobre Análise Combinatória aqui: brainly.com.br/tarefa/13214145 #SPJ2