Question

Quantos números de quatro algarismos existem cuja soma dos algarismos seja maior do que 34?

Answer 1

O maior número de quatro algarismo é 9999  e a soma dos algarismos é 9 + 9 + 9 +9 = 36. Observe que é apenas um pouco maior que 34. Veja que se fizermos com 8888 tendo com soma de seus algarismos 8 +8 +8 +8 = 32, fica abaixo de 34, e queremos que no mínimo seja 35, pois de acordo com o enunciado tem de ser MAIOR que 34.
Portanto, devemos ter no número o maior número de 9 possível.
Se fosse dois 9 no mínimo, sua soma só com os 9 é 18, precisa de mais 17 = 35 (que temos que chegar no mínimo) - 18 (que temos). Veja que com dois 8 os maiores números depois do nove, não conseguiríamos chegar a 17, e sim apenas a 16, portanto dois números 9 são insuficientes.

Se fosse três 9, sua soma só com os 9 é 27, para chegar a 35 (pois só pode chegar a 36, que é o máximo da soma de números de quatro algarismos, quatro noves, pois 9 +9 +9 +9 = 36), falta 8 = 35 - 27.

Portanto, podemos formar somente números com três 9 e um 8 para que se respeite o que está no enunciado ou quatro noves.

Para saber quantos números distintos podemos formar com três 9 e um 8, devemos usar permutação com elementos repetidos (já que o 9 se repete).

$P _{n} = \frac{n!}{a!b!c!...}$
sendo:
n, o número de elementos
a, número de vezes que o elemento que se repete
b, número de vezes que o elemento que se repete (caso tenha)
c, número de vezes que o elemento se repete (caso tenha)
...
$P_{4} = \frac{4!}{3!} \\ \\ P_{4} = \frac{4*3!}{3!} \\ \\ P _{4} = 4$
Então podemos formar 4 números distintos com três algarismo 9 e um algarismo 8. Como são poucos podemos descrevê-los, são eles:
8999
9899
9989
9998

Veja que cada número acima é distinto (= diferente) do outro e sua soma é maior que 34.

Com podemos formar quatro números diferentes usando três 9 e um 8 e mais um número formado com quatro 9 que é 9999. (Faça o mesmo que fizemos com três 9 e um 8, caso queira ver, para descobrir quantos números distintos podemos formar com quatro 9).

Então no total temos 5 números de quatro algarismos que a soma de seus algarismo é maior que 34.

Espero tê-lo ajudado!
:)