Question

Quantos números de CPF são possíveis? Quantos desses números terminam com o algarismo 9?

Answer 1

Utilizando analise combinatória, temos que existem 10¹¹ CPFs possíveis diferentes e 10¹⁰ formas diferentes deles terminando com 9.

Explicação passo-a-passo:

Um número de CPF possui 11 espaços para digitos:

_ _ _ . _ _ _ . _ _ _ - _ _

Cada espaço pode comportar 10 digitos diferentes (de 0 a 9), então ao todo temos a multiplicação de 10 possibilidades 11 vezes, o que nso da:

C = 10¹¹

Assim temos 10¹¹ formas de ter CPFs diferentes.

Se quiser que o ultimo número seja 9, então teremos o ultimo valor fixo, sendo assim teremos somente 10 espaços, ou seja, teremos ao todo 10 ¹⁰ formas diferentes de CPF.

Answer 2

Resposta:

Primeiramente gostaria de esclarecer que não um intelectual na área de exatas, porém tenho uma grande simpatia com a mesma.

Então, não concordo com a resposta anterior, pois a pergunta não se refere a um número qualquer de 11 dígitos, mas sim a um CPF, e todo número de CPF precisa obedecer a um conjunto específico de regras. É possível consultar elas com facilidade na internet.

Enfim, para determinarmos quantos CPFs existem, acredito que bastaria realizar a combinação dos 9 dígitos (sem os dígitos verificadores) menos os cpfs inválidos (111.111.111-11, 222.222.222-22, etc)

Logo a quantidade de CPF existente seria 10^9 - 10 = 999.999.990

Agora para observarmos quantos cpfs terminam com 9:

Se observarmos a regra que calcula o último dígito verificador do CPF, temos que ele é determinado pelo resultado da seguinte operação:

(11*d1 + 10*d2 + 9*d3 + 8*d4 + 7*d5 + 6*d6 + 5*d7 + 4*d8 + 3*d9 + 2*d10) % 11

Onde: d1,d2,...,d10 são os dígitos do CPF

e % é a operação de módulo (resto da divisão)

Então, para determinar a quantidade possível de CPFs que terminam em 9 é necessário calcular a quantidade de soluções que satisfazem a seguinte equação linear:

(11*d1 + 10*d2 + 9*d3 + 8*d4 + 7*d5 + 6*d6 + 5*d7 + 4*d8 + 3*d9 + 2*d10) % 11 = 9

Lembrando que tendo em mãos a quantidade de soluções para o sistema linear acima, é necessário subtrair 1. (Por conta do CPF 999.999.999-99 que pelas regras, não é válido).

A equação acima pode ser reescrita como:

(11*d1 + 10*d2 + 9*d3 + 8*d4 + 7*d5 + 6*d6 + 5*d7 + 4*d8 + 3*d9 + 2*d10) = 11*X + 9.

(Onde X é um inteiro >= 0)

Que novamente pode ser reescrita como:

(11*d1 + 10*d2 + 9*d3 + 8*d4 + 7*d5 + 6*d6 + 5*d7 + 4*d8 + 3*d9 + 2*d10) - 11*X -9 = 0.

Porém, aí que complica as coisas, (ainda mais) o d10 da equação acima, não pode ser um número qualquer entre 0 a 9, mas sim um número que atenda a seguinte equação linear:

D10 = 10*d1 + 9*d2 + 8*d3 + 7+d4 + 5*d5 + 4*d6 + 3*d7 + 2*d9 % 11

Infelizmente hoje, eu não possuo a capacidade de resolver esse problema exceto utilizando um algoritmo de computador e realizando uma abordagem de força bruta (tentar todas as combinações possíveis e contabilizar a quantidade de CPFs possíveis que terminem em 9).

Caso alguém leia essa pergunta saiba como resolver, por favor nos avise. =)

Explicação passo-a-passo:

Não tenho =(

Porém, fiz a abordagem que citei acima de testar através de força bruta todas as combinações, usando um programa que escrevi (o código fonte pode ser encontrado no meu github, meu usuário é o mattvasc) e o resultado foi de 91.916.663 CPFs que terminam com o número 9.

Que se formos parar para analisar, é um número "próximo" de 10^9/10.