Question

Quantos números de 4 algarismos distintos, menores que 4000, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3 e 4?

Answer 1

Primeira solução:

Como queremos formar números menores que $4000$, o algarismo das unidades de milhar não pode ser $4$. Mas, pode ser $1,2$ ou $3$ porque o maior número nesse caso será $3421$, que é menor que $4000$.

Então, temos $3$ possibilidades para o algarismo das unidades de milhar.

Para o algarismo das centenas não há restrições, ele só deve ser diferente do que já foi escolhido, só que agora o $4$ pode ser escolhido. Também são $3$ possibilidades para o algarismo das centenas

Restando $2$ algarismos, um um deles será o algarismo das dezenas e o que sobrar será o das unidades. São possibilidades.

Logo, a resposta é $3\cdot3\cdot2=18$.


Segunda resposta:

Na verdade você pode imaginar um anagrama. Essa questão é equivalente a determinar quantos dos anagramas da palavra $\text{MESA}$ não começam com a letra $\text{A}$, veja que são $4$ letras, diferentes, assim como são $4$ números.

O número total de anagramas é $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$. Quantos deles começam com a letra $\text{A}$?

Basta fixar a letra $\text{A}$ como letra inicial e permutar as outras três. Isso pode ser feito de $3!=3\cdot2\cdot1=6$ maneiras.

Portanto, são $24-6=18$ anagramas que não começam com a letra $\text{A}$.

E $18$ números que não começam com $4$ e, por consequência são maiores que $4000$.

Esses são os $24$ números:

1234    1243   1324    1342    1413     1431
2134    2143   2314    2341    2413    2431
3124    3142   3214    3241    3412    3421
4123    4132   4213     4231    4312     4321

E você pode ver que de fato $18$ são menores que $4000$