Question

Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9?

Answer 1

Resposta:

6.5.4= 120 números distintos com três algarismos

Explicação passo-a-passo:

Temos ao todo 6 algarismos, então para:

1° algarismo: 6 possibilidades

2° algarismo: 5 possibilidades

3° algarismo: 4 possibilidades

Portanto ao todo teremos:

6.5.4= 120 números distintos com três algarismos

Answer 2

Olá!

Para resolver esse tipo de pergunta, utilizamos o arranjo simples.

Basicamente, podemos resolver por dois métodos:

• usar a fórmula:

$A_{\color{Red} n \color{Black} , \ \color{Orange} p} \color{Black} = \frac{\color{Red} n \color{Black}!}{(\color{Red} n \color{Black} - \color{Orange} p \color{Black})!}$

• resolver através do PFC.

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Resolvendo através do PFC:

→ Queremos formar números de 3 algarismos, logo, temos 3 "espaços" para preencher com os dígitos 2, 3, 5, 6, 7 e 9.

$\begin{matrix} \underbrace{\color{Red} \_ \color{Black} \times \color{Orange} \_ \color{Black} \times \color{Green} \_} \\ \mathrm{\color{Black} 3 \ slots} \end{matrix}$

Nós preencheremos cada "espaço vazio" com as possibilidades de algarismos.

→ No 1° espaço, podemos colocar qualquer um dos dígitos 2, 3, 5, 6, 7 e 9. Portanto, temos 6 possibilidades para o 1° espaço:

$\color{Red} 6 \color{Black} \times \color{Orange} \_ \color{Black} \times \color{Green} \_$

→ No 2° espaço podemos colocar qualquer um dos dígitos restantes, pois pediram números de algarismos distintos, ou seja, não podemos repetir o algarismo que escolhemos. Portanto, temos 5 possibilidades para o 2° espaço:

$\color{Red} 6 \color{Black} \times \color{Orange} 5 \color{Black} \times \color{Green} \_$

→ Seguindo o mesmo raciocínio, no 3° espaço podemos colocar qualquer um dos dígitos restantes, dado que não podemos repetir os escolhidos anteriormente. Portanto, temos 4 possibilidades para o 3° espaço:

$\color{Red} 6 \color{Black} \times \color{Orange} 5 \color{Black} \times \color{Green} 4$

→ Efetuando o cálculo:

$\fbox{\fbox{ \color{Red} 6 \color{Black} \times \color{Orange} 5 \color{Black} \times \color{Green} 4 \color{Black} = 120 }}$

→ Portanto, podemos formar 120 números de 3 algarismos distintos com os dígitos dados.

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Resolvendo através da fórmula do arranjo simples:

→ Queremos formar números de 3 algarismos distintos, logo, $\color{Orange} p \color{Black} = 3$. Como não podemos repetir, estamos falando de um arranjo simples (sem repetição).

→ Os números podem ser compostos pelos seguintes algarismos: 2, 3, 5, 6, 7 e 9. Como são 6 dígitos possíveis, temos 6 elementos, logo, $\color{Red} n \color{Black} = 6$.

Utilizando a fórmula:

$A_{\color{Red} n \color{Black} , \ \color{Orange} p} \color{Black} = \frac{\color{Red} n \color{Black}!}{(\color{Red} n \color{Black} - \color{Orange} p \color{Black})!}$

$A_{\color{Red} 6 \color{Black} , \ \color{Orange} 3} \color{Black} = \frac{\color{Red} 6 \color{Black}!}{(\color{Red} 6 \color{Black} - \color{Orange} 3 \color{Black})!}$

$A_{\color{Red} 6 \color{Black} , \ \color{Orange} 3} \color{Black} = \frac{\color{Red} 720}{\color{Green} 3 \color{Black}!}$

$A_{\color{Red} 6 \color{Black} , \ \color{Orange} 3} \color{Black} = \frac{\color{Red} 720}{\color{Green} 6}$

$\fbox{\fbox{ A_{\color{Red} 6 \color{Black} , \ \color{Orange} 3} \color{Black} = \color{Red} 120 }}$

→ Portanto, podemos formar 120 números de 3 algarismos distintos com os dígitos dados.

Perceba que chegamos ao mesmo resultado.

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Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)