Question

quantos números A de quatro algarismos existem, de modo que metade de A é divisível por 2, um terço de A é divisível por 3 e um quinto de A é divisível por 5​

Answer 1

Só existem 10 números que atendem aos critérios pedidos.

Primeiro precisamos descobrir quantos números tem 4 algarismos.

Para ter 4 algarismos (XYZW), X não pode ser zero (0). Se X for zero teremos três algarismos (XYZW = YZW)

Então temos 9 números para X, 10 para Y, 10 para Z e 10 para W

$9\times10\times10\times10=9000$

Ao dizer "metade de A é divisível por 2", queremos dizer que A é divisível por 4

Em notação algébrica:

$\dfrac{A}{2}=2B$ (onde B é um número qualquer que pode ser par ou impar)

Ou seja, queremos que $B=\frac{A}{4}$

Apenas 2250 números são divisíveis por 4 (porque $\frac{9000}{4}=2250$

Ao dizer "a terça parte de A é divisível por 3", queremos dizer que A é divisível por 9

Em notação algébrica:

$\dfrac{A}{3}=3B$ (onde B é um número qualquer que pode ser par ou impar)

Ou seja, queremos que $B=\frac{A}{9}$

Apenas 1000 números são divisíveis por 9 (porque $\frac{9000}{9}=1000$

Ao dizer "o quinto de A é divisível por 5", queremos dizer que A é divisível por 25

Em notação algébrica:

$\dfrac{A}{5}=5B$ (onde B é um número qualquer que pode ser par ou impar)

Ou seja, queremos que $B=\frac{A}{25}$

Apenas 360 números são divisíveis por 25 (porque $\frac{9000}{25}=360$

Para que A seja divisível ao mesmo tempo por 25, 9 e 4 precisamos calcular

$\dfrac{A}{25\times9\times4}=\dfrac{A}{900}$

Como o total de números são 9000, só existem 10 números (entre os 9000) que são divisíveis por 900