Question

Quantos múltiplos de 12 existem entre 1 e 2015

Answer 1

Se fôssemos escrever todos os múltiplos de 12 entre 1 e 2015 daria um resultado 'n', e assim poderíamos encontrar quantos múltiplos de 12 há entre 1 e 2015. Para não precisarmos escrever tudo por extenso, podemos fazer esse cálculo através de PA.

Vamos dizer que:
- O 1° termo seja 12.
Sendo assim teríamos uma PA: (12, 24, 26, 48, ..., an)
O último termo não pode ser maior do que 2015, mas deve ser um múltiplo de 12.
Para descobrirmos qual seria esse último termo, observamos qual é o 1° número  menor ou igual a 2015 que é um múltiplo de 12.
Lembrando que para que um número seja múltiplo de 12, esse número também deve ser divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo, e o 1° número menor do que 2015 que obedece a essa regra é o número 2004, portanto esse é o nosso último termo.

Então temos a PA: (12, 24, 26, 48, ..., 2004)

$a_n=2004\\a_1=12\\ r=24-12=12\\ n=?\\\\ a_n=a_1+(n-1)*r\\\\ 2004=12+(n-1)*12\to \\ 2004=12+12n-12\to \\ 2004-12+12=12n\to \\ 2004=12n\to \\ \frac{2004}{12} =n\to\\ n=167$



R.: Existem 167 múltiplos de 12 entre 1 e 2015.

Answer 2

a1 = 12
an = 2004
r = 12
n = ?

an = a1 + (n - 1).r
2004 = 12 + (n - 1).12
2004 = 12 + 12n - 12
2004 = 12n
12n = 2004
n = 2004/12
n = 167 termos
***************************************
 2004  [  12
-12             167
 080
 - 72
   084
    -84
     00

2004 + 12 = 2016 (já passou do intervalo)