Quantos meses a quantia de 4500 reais deve ficar aplicada a uma taxa simples de 2,5% ao mês para ao final resultar num montante de 9000?
Soluções para a tarefa
n= J/C.i
n= ?
J= 9000 - 4500>> 4500
C= 4500
i= 2,5%/100>> 0,025
_________________________
n= 4500/4500.0,025
n= 4500/112,5
n= 40
Tempo de 40 meses.
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
a)os juros aplicados são simples, ou seja, sempre aplicados em relação ao valor inicial, mês após mês, desconsiderando-se os acréscimos sucessivos gerados pela taxa;
b)capital (C) aplicado: R$4500,00;
c)taxa (i) do juro simples: 2,5% ao mês;
d)juros (J) rendidos na aplicação: ?
e)tempo (t) da aplicação: ? (em meses);
f)montante (M) ou valor inicial somado aos juros rendidos ao final da aplicação: R$9000,00.
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(II)Levando em consideração as afirmações acima, deve-se aplicá-las na expressão matemática do montante, para a determinação do juro rendido:
M = C + J
9000 = 4500 + J ⇒
9000 - 4500 = J ⇒
4500 = J ⇒
J = 4500
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(III)Aplicação do juro obtido na seção (II) e das demais informações na expressão matemática do juro simples, para a determinação do tempo da aplicação:
OBSERVAÇÃO 1: A taxa (i) e o tempo (t) da aplicação devem estar relacionadas a uma mesma unidade de tempo. Nesta questão, verifica-se que i e t referem-se a mês, razão pela qual nenhuma conversão será necessária uma conversão.
OBSERVAÇÃO 2: A taxa (i), ao ser inserida na fórmula, deve ser alterada de 2,5% para um número decimal, 0,025 (porque 2,5%=2,5/100=0,025), ou para uma fração, a saber, 2,5/100. Na resolução, por questão de facilidade nas simplificações e nas multiplicações, será considerada a forma fracionária.
OBSERVAÇÃO 3: O número 4500,00 é igual a 4500, porque o zero, quando figura como último algarismo na parte decimal, é insignificativo, ou seja, não possui valor e pode ser desconsiderado.
J = C . i . t
4500 = 4500 . (2,5/100) . (t) ⇒ (Veja a Observação 4.)
4500 = 45 . (2,5/1) . (t) ⇒
4500 = 45 . (2,5) . (t) ⇒ (Note que 2,5 corresponde a 25/10.)
4500 = 45 . (25/10). (t) ⇒
4500 . 10 = 45 . 25 . (t) ⇒
45000 = 1125 . (t) ⇒
45000/1125 = t ⇒
40 = t ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
t = 40
OBSERVAÇÃO 4: Na parte destacada, foi feita uma simplificação: dividiram-se 4500 e 100 por 100.
Resposta: A quantia de R$4500,00 deve ficar aplicada 40 meses para resultar em um montante de R$9000,00.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo M = 9000 e J = C.i.t na equação do montante e e omitindo, por exemplo, o capital (C), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o tempo realmente corresponde ao afirmado:
M = C + J (Substituindo J = C.i.t.)
M = C + (C.i.t)
9000 = C + (C . (2,5/100) . 40) ⇒
9000 = C + (C . (2,5/10) . 4) ⇒
9000 = C + (C . (25/10 / 1/10) . 4) ⇒ (Veja a Observação 5.)
9000 = C + (C . (25/100) . 4) ⇒
9000 = C + (C . 100/100) ⇒
9000 = C + (C . 1) ⇒
9000 = 2.C ⇒
9000/2 = C ⇒
4500 = C ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
C = 4500 (Provado que t = 40.)
OBSERVAÇÃO 5: Na parte destacada, foi realizada uma divisão entre duas frações, a saber 25/10 (correspondente ao decimal 2,5) e 10/1 (o 1 quando denominador, não precisa ser indicado, em razão de não alterar o resultado). Neste processo, conserva-se a primeira fração e divide-se pelo inverso da segunda (10/1 transforma-se em 1/10).
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