Question

quantos meios geométricos devemos interpolar entre 100 e 1000000 para se obter uma p.g. de razão 10.

Answer 1

resolução!

an = a1 * q^n - 1

1000000 = 100 * 10^n - 1

1000000/100 = 10^n - 1

10000 = 10^n - 1

10^4 = 10^n - 1

4 = n - 1

n = 4 + 1

n = 5

resposta : 3 meios

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o número de meios da referida progressão geométrica é:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = 3\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sabemos que para trabalhar com progressão geométrica devemos utilizar a seguinte fórmula do termo geral:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{n} = A_{1}\cdot q^{n - 1}\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que o número total de termos de uma progressão geométrica é igual ao número de meios acrescido de 2 unidades, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = m + 2\end{gathered}$

Substituindo o valor de "n" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1}\cdot q^{(m + 2) - 1}\end{gathered}$

Desenvolvendo e simplificando a equação "III", temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1}\cdot q^{(m + 2) - 1}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1}\cdot q^{m + 2 - 1}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{m + 2} = A_{1}\cdot q^{m + 1}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{A_{m + 2}}{A_{1}} = q^{m + 1}\end{gathered} }$

Invertendo os membros da última equação, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} q^{m + 1} = \frac{A_{m + 2}}{A_{1}}\end{gathered} }$

Se os dados são:

             $\Large\begin{cases} A_{m + 2} = 1000000\\A_{1} = 100\\q = 10\\m = \:?\end{cases}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 10^{m + 1} = \frac{1000000}{100}\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 10^{m + 1} = 10000\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} {\!\diagdown\!\!\!\!\!\!10}^{m + 1} = {\!\diagdown\!\!\!\!\!\! 10}^{4}\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} m + 1 = 4\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 4 - 1\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 3\end{gathered}$

✅ Portanto, o número de meios é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = 3\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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