Question

Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre 16 e 1024 para que se obtenha uma P.G. de razão 2? ​

Answer 1

Após inserirmos os meios geométricos, teremos uma PG com "n" termos, sendo 16 o primeiro ($\sf a_1$) e 1024 o último ($\sf a_n$).

                                $\sf \{16~,~a_2~,~...~,~a_{n-1}~,~1024\}$

Vamos começar determinando o número de termos dessa PG (n) utilizando o termo geral da PG, mostrado abaixo.

$\sf Termos~Geral~da~PG:~~\boxed{\sf a_n~=~a_1\cdot q^{n-1}}$

Substituindo os valores, temos:

$\sf 1024~=~16\cdot 2^{n-1}\\\\\\\dfrac{1024}{16}~=~2^{n-1}\\\\\\64~=~2^{n-1}\\\\\\2^{6}~=~2^{n-1}\\\\\\\not2^{6}~=~\not2^{n-1}\\\\\\6~=~n-1\\\\\\n~=~6+1\\\\\\\boxed{\sf n~=~7~termos}$

A PG terá 7 termos. Como dois desses termos são os já conhecidos (16 e 1024), tivemos que inserir 5 meios geométricos entre esses dois números para formar a PG de 7 termos e razão q=2.

Resposta: 5 meios geométricos

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$

Answer 2

Resposta:  5

Explicação passo a passo

Expressão do termo geral de uma PG(Progressão Geométrica),

an = a1.q^(n-1)

an = enésimo termo =  1024

a1 = 1º termo = 16

q = razão = 2

1024 = 16.2^(n-1)

1024/16= 2^(n-1)

64 = 2^(n-1)

Decompondo o 64 => 64 = 2^(6)

2^(6) = 2^(n-1)

Mesma base 2 é só igualar os expoentes

6 = n - 1 => n = 7

7 é o nº de termos da PG; subtraindo os extremos que são o 16 e o 1024 => nº de meios = 7 - 2 = 5

Para conferir . A PG fica,

16, 32, 64. 128, 256. 512, 1024