Question

quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 12 e 42 para que a razão da interpolação seja 5 ​

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que a quantide de meios aritméticos serão m = 5.

Uma P.A. é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é

a soma do anterior com uma constante r, chamda de razão.

A expressão que nos permita obter um termo qualquer da P. A é dada por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{a_n = a_1 + (n -1) \cdot r } }$

Sendo que:

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }$ termo geral;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }$ primeiro termo;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }$ número de termo ( até $\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n }$ );

$\boldsymbol{ \textstyle \sf r \to }$ razão da P.A.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf m = \:? \\\sf n = m + 2 ~ extremos \\\sf a_1 = 12 \\\sf a_n = 42 \\\sf r = 5 \end{cases} } }$

O enunciado pede que calculemos a quantidade de meios aritméticos entre 12 e 42.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ P.A \:(\: 12, \underbrace{\sf -, -,-,\cdots,- }_{\sf meios},42 \:) } }$

Aplicando a fórmula geral da P.A, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1+ (n-1) \cdot r }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 42 = 1 2 + ( \:\underbrace{ \sf m+2}_{\sf n} - 1) \cdot 5 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{42-12 = (m+ 1) \cdot 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 30 = 5m +5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 30-5 = 5m }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 25 = 5m }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{25}{5} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m = 5 }$

Logo, a P.A dada é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ P.A \:(\: 12, \underbrace{\sf 17,22,27,32,37 }_{\sf 5~ meios},42 \:) } }$

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