Question

Quantos lados tem um polígono convexo que possui 170 diagonais? Qual é o nome dele?

Answer 1

$D= \frac{n(n-3)}{2}$

n = n° de lados

$170= \frac{n(n-3)}{2}$

n (n - 3) = 170 . 2
n² - 3n = 340
n² - 3n - 340 = 0
   a = 1; b = -3; c = -340
      n = [- b ± √(b² - 4ac)] / 2a
      n = [- (-3) ± √([-3]² - 4 . 1 . [-340])] / 2 . 1
      n = [3 ± √(9 + 1360)] / 2
      n = [3 ± √1369] / 2
      n = [3 ± 37] / 2
      n' = [3 + 37] / 2 = 40 / 2 = 20
      n'' = [3 - 37] / 2 = -34 / 2 = -17

As raízes da equação são -17 e 20. Mas, a raiz -17 não serve para a situação, pois n° de lados só pode ser positivo. Sendo assim, n = 20.
Ou seja, a figura é um icoságono.

Espero ter ajudado. Valeu!

Answer 2

O problema fornece o seguinte:

d = ( n - 3). n / 2

170*2 = n² - 3n

n² - 3n - 340 = 0

∆= 9 + 1360

∆= 1369

√∆ = 37

n' = 3 + 37/2

n' = 40/2

n' = 20

Ele possui 20 lados

Icosagono