Question

Quantos lados tem um polígono convexo que possui 170 diagonais? Oual é o nome dele?

Answer 1

Basta usar a fórmula : 

$D= \frac{n.(n-3)}{2} \\\\\\ sabemos\ que\ D=170\\\\\\170= \frac{n.(n-3)}{2} \\\\\\2.170=n^{2}-3n\\\\\\340=n^{2}-3n\\\\\\\boxed{n^{2}-3n-340=0}$


Resolvendo a equação do segundo grau : 


$\Delta=b^{2}-4.a.c\\\\\Delta=(-3)^{2}-4.1.(-340)\\\\\Delta=9+1360\\\\\Delta=1369$

$n= \frac{-b+- \sqrt{\Delta} }{2a} \\\\\\n= \frac{-(-3)+- \sqrt{1369} }{2.1} \\\\\\n= \frac{3+-37}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (desconsidero\ o\ -37)\\\\\\n= \frac{3+37}{2} \\\\\\n=\frac{40}{2} \\\\\\\boxed{\boxed{n=20\ \ lados}}\ \\\\\\\ \ \boxed{\boxed{{(icosa\´gono)}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ok$

Answer 2

Para saber quantos lados, tem esse polígono, usaremos a formula que está no exercício, onde d é o número de diagonais e n ó número de lados.


$d = \frac{n*(n-3)}{2}$

$170 = \frac{n*(n-3)}{2}$    Podemos multiplicar o 2 com 170

170 * 2 = n² - 3n
340 - n² + 3n = 0
-n² + 3n + 340 = 0

a = -1    b = 3   c = 340

Δ = b² - 4*a*c
Δ = 3² - 4*(-1)*340
Δ = 9 + 1760
Δ = 1769

$n = \frac{-b +- \sqrt{\Delta} }{2a}$
$n = \frac{-3+- \sqrt{1769} }{2*(-1)}$
$n = \frac{-3 +- 37}{-2}$

$n_{I} = \frac{-3 + 37}{-2}$
$n_{I} = \frac{34}{-2}$
$n_{I} = - 17$

$n_{II} = \frac{-3 - 37}{-2}$
            $\frac{-40}{-2}$
            $20$

Vamos pegar só o número positivo pois não existe figura com lado negativo. Portanto esse nossa figura tem 20 lados. O nome dela é Icoságono.