Question

Quantos inteiros positivos têm seus quadrados e seus cubos com o mesmo números de algarismos na sua respectiva representação decimal ?

Answer 1

Sabemos que a multiplicação de dois números de dois algarismos sempre terá 3 algarismos e que a multiplicação de um número de três algarismos por um número de 2 algarismos terá 4 algarismos.

Com essa informação, sabemos um número maior ou igual a 10 tem seu quadrado com 3 algarismos e seu cubo com 4 algarismos.

Então os números só podem ser de 0 a 9.

Vamos testar cada um deles:
0² = 0; 0³ = 0
1² = 1; 1³ = 1
2² = 4; 2³ = 8
3² = 9; 3³ = 27
4² = 16; 4³ = 64
5² = 25; 5³ = 125

Como 5² e 5³ já não possuem o mesmo número de algarismos, podemos desconsiderar os demais.

Então temos 4 números que satisfazem esta questão. São eles o 0, 1, 2 e 4.