Question

QUANTOS ELEMENTOS TEM P (A) ,SENDO A=X/X É DIVISOR POSITIVO DE 30

Answer 1

$A=\left\{x \left|\,x \text{ \'{e} divisor positivo de }30\right. \right \}$

$A$ é o conjunto de todos divisores positivos de $30$. Fatorando o número $30$, temos

$30=2^{1}\times 3^{1} \times 5^{1}$


Se um número $n$ é fatorado na forma

$n=2^{a}\times 3^{b} \times 5^{c}\times\ldots\times p^{k}$

onde $p$ é o maior fator primo de $n$


então o número de divisores positivos de $n$ é

$\left(a+1 \right )\cdot \left(b+1)\cdot \left(c+1 \right )\cdot \ldots \cdot \left(k+1 \right )$


Para $n=30$, temos que a quantidade de divisores é

$\left(1+1 \right )\cdot \left(1+1 \right )\cdot \left(1+1 \right )\\ \\ =2 \cdot 2 \cdot 2\\ \\ =8 \text{ divisores}$


Logo, o conjunto $A$ dos divisores positivos de $30$ possui $8$ elementos:

$A=\left\{1,\,2,\,3,\,5,\,6,\,10,\,15,\,30 \right \}\\ \\ n\left(A \right )=8\text{ elementos}$


$P\left(A \right )$ é o conjunto das partes de $A$, ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de $A$. O número de elementos de $P\left(A \right )$ é

$n\left[\,P\left(A \right )\, \right ]=2^{n\left(A \right )}\\ \\ n\left[\,P\left(A \right )\, \right ]=2^{8}\\ \\ \boxed{n\left[\,P\left(A \right )\, \right ]=256\text{ subconjuntos}}$