Question

Quantos elementos tem a p.g (8,32,...,2³¹)??

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tplem, que a resolução é simples.
Pede-se o número de termos da seguinte PG (8; 32; ...; 2³¹).
Note que a PG acima tem razão (q) igual a "4", pois 32/8 = 4. Assim, até o 2³¹ (que é o último termo e,como tal, será o termo "an"), você irá utilizando a razão (q = 4) a partir do primeiro termo (que é igual a "8"). Mas para evitar que você vá fazendo isso até chegar ao 2³¹, iria perder muito tempo.
Dessa forma, com a utilização da fórmula do termo geral de uma PG você, com bastante facilidade, chegará ao número de termos da PG dada. A fórmula do termo geral de uma PG é dada assim:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima, "an" é o termo que queremos encontrar. Como queremos encontrar o número de termos da PG em função do último termo, então substituiremos "an" por "2³¹". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "8", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "q" por "4", que é o valor da razão da PG.
Assim, fazendo essas substituições, teremos;

2³¹ = 8*4ⁿ⁻¹ ---- vamos apenas inverter, ficando:
8*4ⁿ⁻¹ = 2³¹ ---- isolando "4ⁿ⁻¹", ficaremos com:
4ⁿ⁻¹ = 2³¹ / 8 ---- note que 8 = 2³. Assim:
4ⁿ⁻¹ = 2³¹ / 2³ ---- note que, no 2º membro, temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Então:

4ⁿ⁺¹ = 2³¹⁻³ --------- como 31-3 = 28, ficaremos com:
4ⁿ⁻¹ = 2²⁸ ----- mas note que 4 = 2². Assim ficaremos:
(2²)ⁿ⁻¹ = 2²⁸ ----- desenvolvendo a potência do 1º membro, teremos;
2²*⁽ⁿ⁻¹⁾ = 2²⁸ ---- continuando o desenvolvimento da potência do 1º membro:
2²ⁿ⁻² = 2²⁸ ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Assim:

2n - 2 = 28
2n = 28 + 2
2n = 30
n = 30/2
n = 15 <--- Esta é a resposta. Este é o número pedido de termos da PG da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.