Question

Quantos elementos tem a 10ª linha do Triângulo de Pascal? Qual é a soma desses elementos? * 1 ponto a) 10 elementos e a soma deles é 1048. b) 11 elementos e a soma deles é 2048. c) 10 elementos e a soma deles é 2024. d) 11 elementos e a soma deles é 1024.

Answer 1

Resposta: letra D

11 elementos e a soma deles é 1024.

Explicação passo-a-passo:

Fiz no classroom e estava certo

Espero ter ajudado!!!

Answer 2

Utilizando definição de triangulo de pascal, combinatória e fatoriais, temos que a decima linha do triangulo de pascal, possui 11 elementos e a soma destes é dada por 1024, letra d).

Explicação passo-a-passo:

A definição formal de um triangulo de pascal é que todas as linhas presentam todas as combinações de ordens diferentes num mesmo triangulo, onde estas linhas são os valores das ordens.

Supondo um elemento Aij do triangulo de pascal, onde i é o número da linha e j a sua posição na linha, então este elemento é dado por:

$A_{ij}={i\choose j}=\frac{i!}{j!(i-j)!}$

Onde j pode variar de 0 até um valor igual a i, ou seja, qualquer linha de ordem i, possui i + 1 elementos.

Assim quando contamos a linha 10, estamos fazendo a conta de todos os valores de 0 até 10, portanto, 11 elementos, da forma:

$Linha_{10}={10\choose 0}\,{10\choose 1}\,{10\choose 2}\,{10\choose 3}\,{10\choose 4}\,{10\choose 5}\,{10\choose 6}\,{10\choose 7}\,{10\choose 8}\,{10\choose 9}\,{10\choose 10}\,$

E para sabermos a somar deles, basta encontrarmos estes valores e somarmos, porém é simples, pois as pontas extremas tem valores iguais, note:

${10\choose 0}={10\choose 10}=\frac{10!}{10!0!}=1$

${10\choose 1}={10\choose 9}=\frac{10!}{9!1!}=10$

${10\choose 2}={10\choose 8}=\frac{10!}{8!2!}=45$

${10\choose 3}={10\choose 7}=\frac{10!}{7!3!}=120$

${10\choose 4}={10\choose 6}=\frac{10!}{6!4!}=210$

${10\choose 5}=\frac{10!}{5!5!}=252$

Agora basta somar estes valores:

$Linha_{10}={10\choose 0}\,{10\choose 1}\,{10\choose 2}\,{10\choose 3}\,{10\choose 4}\,{10\choose 5}\,{10\choose 6}\,{10\choose 7}\,{10\choose 8}\,{10\choose 9}\,{10\choose 10}\,$

$Linha_{10}=1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1024$

Assim vemos que a decima linha do triangulo de pascal, possui 11 elementos e a soma destes é dada por 1024, letra d).

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