Question

Quantos divisores positivos tem o numero N= 2^a. 3^b. 5^c. 7^d

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Andrjr, que a resolução é simples.

Veja isto: se você tem um número N que, após fatorado, resultou nisto:

N = 2^(a) * 3^(b) * 5^(c) * 7^(d) , então o número de divisores positivos, que vamos chamar de "n" (minúsculo) será dado pela multiplicação de cada expoente somado com uma unidade. Ou seja, o número N terá o seguinte número (n) de divisores:

n = (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1) <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o número (n) de divisores positivos do número N.

Digamos que você soubesse os valores de "a", de "b", de "c" e de "d", que seriam estes: a = 2; b = 1. c = 3; e d = 1. Então o número N teria o seguinte número (n) de divisores positivos:

n = (2+1)*(1+1)*(3+1)*(1+1)
n = (3)*(2)*(4)*(2) ---- note que este produto dá exatamente igual a "48". Logo:
n = 48 divisores positivos. Este seria o número (n) de divisores positivos do número N, se os valores dos expoentes "a", "b" , "c" e "d" fossem os que arbitramos acima.

Veja como isso é verdade. Note que o número 24, quando fatorado, é igual a:

24 = 2³ * 3¹ ---- então o número (n) de divisores positivos de 24 será:

n = (3+1)*(1+1)
n = (4)*(2)
n = 8 <--- Este é o número de divisores positivos do número 24.

E veja que os divisores positivos de 24 são estes:

d = 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 e 24 <--- Veja que são, realmente, 8 divisores positivos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.