Quantos divisores positivos tem o maior inteiro menor que 3^2010 + 2^2010 ÷ 3^2008 + 2^2008
Soluções para a tarefa
Resposta:
Se for (3^2010 + 2^2010) / (3^2008 + 2^2008 )
(3²*3^2008 +2²* 2^2008) / (3^2008 + 2^2008 )
=(9*3^2008 +4* 2^2008) / (3^2008 + 2^2008 )
=9*3^2008 / (3^2008 + 2^2008 ) + 4* 2^2008/ (3^2008 + 2^2008 )
*** 4* 2^2008/ (3^2008 + 2^2008 ) é muito pequeno, podemos desprezar
*** 4/ (3^2008 +1 ) é muito pequeno, podemos desprezar
9*3^2008 / (3^2008 + 2^2008 )
=
9 / (1 + 2^2008/3^2008 )
** 2^2008/3^2008 é muito pequeno , mas não podemos desprezar, na divisão de 9 por um número 1 + alguma coisa muito pequena vai fazer diferença , vou chamar 2^2008/3^2008 de x
=9/(1+x) ≅ 8,9999999999...999 ...não é uma dizima
menor número inteiro é 8 =2³
some 1 ao expoente = 4 divisores
1,2,4,8 são os divisores positivos , portanto são quatro é a resposta
Seja:
Queremos mostrar que 8 < x < 9. Primeiro observamos que
Logo:
Temos então que x < 9. Para concluirmos que x > 8 vamos provar que :.
Observe que:
Assim:
Portanto x > 8.
Concluimos que x é um número entre 8 e 9, logo o menor inteiro é 8.
8 = 2³
3+1 = 4
Ele possui 4 divisores: {1,2,4,8}
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