Question

Quantos anagramas posso formar com a palavra PROVA de forma que nenhuma letra fique em sua posição original ?

Answer 1

=> Temos a palavra "PROVA" ...com 5 letras ..sem repetições

Pretendemos saber o número de anagramas ..que não tenham as suas letras nas posições originais.

...ou seja estamos perante um exercício de Permutação Caótica ..ou "Desarranjo"


--> Como não existem repetições a resolução fica um pouco menos complexa

--> Como "n" tem um número reduzido de elementos (apenas 5 elementos) ..a resolução fica pela aplicação direta da fórmula do "Desarranjo"

Assim o número (N) de anagramas será dada por:

N = n!.[1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ...+(-1)^n.1/n!]

..onde "n" é o número de elementos do conjunto neste caso n = 5

Resolvendo:

N = 5!.(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!)

N = 5!.(1 - 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!)

N = 5!.(+ 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!)

N = 5!.(+ 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/5!)

N = 5!.(9/24 - 1/5!)

..agora temos 2 opções: 

=> ..ou resolvemos os fatoriais ..e efetuamos os cálculos todos até á simplificação final

=> ...ou continuamos com o cálculo fatorial e com as suas propriedades 
de operação

Vou optar pela 2ª opção ..é mais "evoluído"

(continuando)

N = 5!.(9/24 - 1/5!)

repare que 24 = 4!, então ..

N = 5!.(9/4! - 1/5!)

vamos efetuar a multiplicação do termo em evidência

N = [(5!.9)/4!] - [(5!.1)/5!]

N = [(5.4!.9)/4!] - (5!/5!)

N =  (5.9) - (1)

N = 45 - 1

N = 44 <-- número de anagramas



Espero ter ajudado

Answer 2

$\boxed{\boxed{Ola\´\ Optmistic}}$

Este exercício envolve permutação caótica .

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Fórmula da permutação caótica :

$D=N!\times\pmatrix\(1-\dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!} -\dfrac{1}{3!}+.....+\dfrac{1}{N!}~~\endpmatrix$

Onde N é a quantidade de letras que a palavra tem , logo N=5

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$D=5!\times\pmatrix\(1-\dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!} -\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=120\times\pmatrix\(1-\dfrac{1}{1} +\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{120}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=120\times\pmatrix\(\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{120}~~\endpmatrix}~~\endpmatrix$

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Optimistic, nesta etapa do exercício , vamos tirar o minimo múltiplo comum dos denominadores das frações , o resultado do MMC , vamos dividir pelo próprios denominadores e o resultado da divisão , multiplicar pelos numeradores ,veja como é simples de entender :

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$\begin{array}{r|l}2,6,24,120&2\\1.3.12.60&3\\1,1,4,20&4\\1,1,1,5&5\\1,1,1,1&\checkmark\end{array}\\ \\ \\ 2\times3\times4\times5=\boxed{{120}}$

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Agora dividiremos pelos próprios denominadores e o resultado da divisão multiplicaremos pelos numeradores .

$D=120\times\pmatrix\(\dfrac{60-20+5-1}{120} ~~\endpmatrix}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=120\times\pmatrix\(\dfrac{44}{120} ~~\endpmatrix}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=120\times\dfrac{44}{120} \\ \\ \\ \\ D=\dfrac{5280}{120} \\ \\ \\ \\ \boxed{{D=44}}$

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Portanto temos 44 anagramas .

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Espero ter ajudado!