Question

Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?

Obs: Não quero a resolução feita por P.A.

Answer 1

Os múltiplos de $3$ compreendidos entre $23$ e $314$ são:

$\left\{24,\,27,\,30,\,\ldots,\,309,\,312 \right \}\\ \\ =\left\{24,\,27,\,30,\,\ldots,\,96,\,99\right\}\cup\left\{102,\,105,\,\ldots,\,309,\,312 \right \}\\ \\ =\left\{3k\left|\;k \in \mathbb{N}\;\;\text{e}\;\;8 \leq k \leq 33\right. \right \} \cup \left\{3k\left|\;k \in \mathbb{N}\;\;\text{e}\;\;34 \leq k \leq 104\right. \right \}\\ \\ =A \cup B$

onde

$A=\left\{3k\left|\;k \in \mathbb{N}\;\;\text{e}\;\;8 \leq k \leq 33\right. \right \}$ é o conjunto de todos os múltiplos de $3$, com $2$ algarismos;

$B=\left\{3k\left|\;k \in \mathbb{N}\;\;\text{e}\;\;34 \leq k \leq 104\right. \right \}$ é o conjunto de todos os múltiplos de $3$, com $3$ algarismos.


(considerando o universo dos números naturais entre $23$ e $314$)


$\bullet\;\;$ O total de algarismos dos elementos do conjunto $A$ é

$2 \times \left(33-8+1 \right )\\ \\ =2 \times 26\\ \\ =\boxed{52 \text{ algarismos}}$


$\bullet\;\;$ O total de algarismos dos elementos do conjunto $B$ é

$3 \times \left(104-34+1 \right )\\ \\ =3 \times 71\\ \\ =\boxed{213 \text{ algarismos}}$


$\bullet\;\;$ Logo, o total de algarismos de $A \cup B$ é

$52+213=\boxed{265 \text{ algarismos}}$


Esta é a quantidade de algarismos que se utiliza para escrever os múltiplos de $3$ compreendidos entre $23$ e $314$.