Question

Quanto vale(tg15). (sen15)​

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Vamos primeiro descobrir o valor de tg 15 e Sen 15, para isso vamos usar as fórmulas de adição de arcos.

Primeiro com tg(15°).

Concorda comigo que tg15° pode ser escrito como: tg(45°-30°), se concordar ótimo.

Vamos substituir esse dado na fórmula da adição de arco para tangente.

$\tan(a - b) = \frac{ \tan(a) - \tan(b) }{1 + \tan(a) . \tan(b) } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{ \tan(45) - \tan(30) }{1 + \tan(45). \tan(30) } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{1 - \frac{ \sqrt{3} }{3} }{1 + 1. \frac{ \sqrt{3} }{3} } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{1 - \frac{ \sqrt{3} }{3} }{1 + \frac{ \sqrt{3} }{3} } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{ \frac{3 - \sqrt{3} }{ \cancel3} }{ \frac{3 + \sqrt{3} }{ \cancel3} } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{3 - \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{3 - \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } . \frac{ 3 - \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{3.3 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} . \sqrt{3} }{3 {}^{2} - ( \sqrt{3} ) {}^{2} } \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{9 - 6 \sqrt{3} + 3 }{9 - 3} \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} }{6} \\ \\ \tan(45 - 30) = \frac{ \cancel6.(2- \sqrt{3}) }{ \cancel6} \\ \\ \boxed{\tan(15) = 2 - \sqrt{3}}$

Até que enfim achamos a tangente que possui o valor de 2 - √3.

Para o seno(15):

Para achar o seno é praticamente a mesma coisa só muda a fórmula.

$\sin(a - b) = \sin(a) . \cos(b) - \sin(b) . \cos(a) \\ \\ \sin(45 - 30) = \sin(45) . \cos(30) - \sin(30) . \cos(45) \\ \\ \sin(45 - 30) = \frac{ \sqrt{2} }{2} . \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} . \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \sin(45 - 30) = \frac{ \sqrt{6} }{4} - \frac{ \sqrt{2} }{4} \\ \\ \boxed{ \sin(15) = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4} }$

Resposta final:

A questão quer saber a multiplicação desses dois ângulos, então vamos fazer isso.

$\tan(15) . \sin(15) \\ \\ \frac{2 - \sqrt{3}}{1} . \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4} \\ \\ \frac{2. \sqrt{6} - 2 .\sqrt{2} - \sqrt{3}. \sqrt{6} + \sqrt{3}. \sqrt{2} }{4} \\ \\ \frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{18} + \sqrt{6} }{4} \\ \\ \frac{3 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} }{4} \\ \\ \Large\boxed{\frac{3 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} }{4} } \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️