Question

quanto vale tan 15°​

Answer 1

$\sf{tg(15^{\circ})=\dfrac{tg(45^{\circ})-tg(30^{\circ})}{1+tg(45)\cdot tg(30^{\circ})}}\\\sf{tg(15^{\circ})=\dfrac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}}\\\sf{tg(15^{\circ})=\dfrac{\frac{3-\sqrt{3}}{ \diagup\!\!\!\!3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{ \diagup\!\!\!\!3}}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}\\\sf{tg(15^{\circ})=\dfrac{(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})}\cdot\dfrac{(3-\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})}}\\\sf{tg(15^{\circ})=\dfrac{9-6\sqrt{3}+3}{3^2-(\sqrt{3})^2}}\\\sf{tg(15^{\circ})=\dfrac{12-6\sqrt{3}}{9-3}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!6\cdot(2-\sqrt{3})}{\diagup\!\!\!\!6}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{tg(15^{\circ})=2-\sqrt{3}}}}}}$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\tan15\°=2-\sqrt{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o conceito de tangente de um arco metade.

Sabemos que $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Considerando $cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$, podemos substituir $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ para obtermos: $\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1$

Então, ao substituirmos $\alpha=\dfrac{x}{2}$, teremos

$\cos(x)=2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)-1$

Isolando $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$, ficaremos com

$\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}$

Da mesma forma, $\sin(x)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}$

Sabemos que $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, logo é válido dizermos que $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}$

Substituindo as expressões que encontramos anteriormente

$\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}}{\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}}$

Simplificando a fração, teremos que

$\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)+1}$

Então, para encontrarmos a tangente de 15°, façamos

$\tan15\°=\dfrac{\sin(30\°)}{\cos(30\°)+1}$

Sabemos que $\sin(30\°)=\dfrac{1}{2}$ e $\cos(30\°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, logo

$\tan15\°=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1}$

Somando os valores e simplificando a fração, obtemos

$\tan15\°=\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}$

Racionalizamos o denominador ao multiplicar o numerador e o denominador por $2-\sqrt{3}$

$\tan15\°=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}$

Sabemos que o produto da soma pela diferença é dado por $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, logo

$\tan15\°=2-\sqrt{3}$

Este é o valor que procurávamos.