Question

Quanto vale os limites ? não pode se L´Hopital ? dou 20 pontos
a)lim [sqrt(x) ]-8 \ raiz cubica [(x)] -4, com x tendendo a 64
b) lim raiz [x] -1\ raiz quarta[x] -1 com x tendendo a 1

Answer 1

a)

$\lim_{x \to 64} \frac{\sqrt{x}-8}{ \sqrt[3]{x} -4} = \frac{0}{0}$

fatorando o denominador temos que tentar ter uma diferença dos cubos
a³-b³= (a-b)*(a²+ab+b²)

o (a-b) ja temos que é ∛x -4
só falta (∛x)² +4∛x  +4²

então

$\lim_{x \to 64} \frac{\sqrt{x}-8}{ \sqrt[3]{x} -4} * \frac{ (\sqrt[3]{x})^2+4 \sqrt[3]{x}+16 }{ (\sqrt[3]{x})^2*4 \sqrt[3]{x}+16 } \\\\ \lim_{x \to 64}\frac{ \sqrt{x} -8}{ (\sqrt[3]{x} )^3-4^3} *[ (\sqrt[3]{x})^2+4 \sqrt[3]{x}+16] \\\\ \boxed{\boxed{ \lim_{x \to 64} \frac{ \sqrt{x} -8}{x-64} *( \sqrt[3]{x^2} +4 \sqrt[3]{x}+16 )}}$

ainda continua indeterminado, fatorando o numerador 
criando uma diferença dos quadrados 

$\lim_{x \to 64} \frac{ \sqrt{x} -8}{x-64} *( \sqrt[3]{x^2} +4 \sqrt[3]{x}+16 )* \frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+8} \\\\ \lim_{x \to 64} \frac{ (\sqrt{x})^2 -8^2}{x-64} *( \sqrt[3]{x^2} +4 \sqrt[3]{x}+16 )* \frac{1}{\sqrt{x}+8} \\\\ \lim_{x \to 64} \frac{ x -64}{x-64} *( \sqrt[3]{x^2} +4 \sqrt[3]{x}+16 )* \frac{1}{\sqrt{x}+8} \\\\ \boxed{\boxed{\lim_{x \to 64} \frac{ \sqrt[3]{x^2} +4 \sqrt[3]{x}+16 }{\sqrt{x}+8} = 3}}$