Question

Quanto vale o 24° termo da P.A (1/4; 2; 15/4; ...)

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (1/4; 2; 15/4; ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 1/4

b)vigésimo quarto termo (a₂₄): ?

c)número de termos (n): 24 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 24ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do vigésimo quarto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

==========================================

(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 2 - 1/4 ⇒      (Denominadores diferentes. Logo, deve-se obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 1 e 4, que será 4.)

r = (4.2/4) - (1.1/4) ⇒

r = 8/4 - 1/4 ⇒

r = (8-1)/4 ⇒

r = 7/4

========================================

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o vigésimo quarto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₄ = (1/4) + (24 - 1) . (7/4) ⇒

a₂₄ = (1/4) + 23 . (7/4) ⇒

a₂₄ = (1/4) + (23.7)/1.4 ⇒

a₂₄ = (1/4) + 161/4 ⇒      (Frações com mesmo denominador não necessitam de cálculo do m.m.c.)

a₂₄ = (1+161)/4 ⇒

a₂₄ = 162/4 ⇒             (Simplificação: dividem-se 162 e 4 por 2.)

a₂₄ = 162(:2)/4(:2) ⇒

a₂₄ = 81/2       (O resultado será mantido na forma fracionária, porque na progressão não foram indicados números decimais.)

Resposta: O 24º termo da PA(1/4; 2; 15/4; ...) é 81/2.

==================================================

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₄ = 81/2 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo quarto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

81/2 = a₁ + (24 - 1) . (7/4) ⇒

81/2 = a₁ + 23 . (7/4) ⇒

81/2 = a₁ + (23.7)/4 ⇒

81/2 = a₁ + 161/4 ⇒  (Passa-se o termo 161/4 ao primeiro membro, alterando o seu sinal.)

81/2 - 161/4 = a₁         (Veja, abaixo, o cálculo do m.m.c (2,4).)

m.m.c 2, 4 |2

          1,  2| 2

          1,  1 | 2.2 = 4

→Retomando a equação e nela substituindo m.m.c(2,4) = 4:

81/2 - 161/4 = a₁  ⇒

(2.81/4) - 161/4 = a₁ ⇒

162/4 - 161/4 = a₁ ⇒

(162-161)/4 = a₁ ⇒

1/4 = a₁ ⇒

a₁ = 1/4                       (Provado que a₂₄ = 81/2.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!