Quanto vale o 24° termo da P.A (1/4; 2; 15/4; ...)
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (1/4; 2; 15/4; ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 1/4
b)vigésimo quarto termo (a₂₄): ?
c)número de termos (n): 24 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 24ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do vigésimo quarto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 2 - 1/4 ⇒ (Denominadores diferentes. Logo, deve-se obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 1 e 4, que será 4.)
r = (4.2/4) - (1.1/4) ⇒
r = 8/4 - 1/4 ⇒
r = (8-1)/4 ⇒
r = 7/4
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o vigésimo quarto termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₄ = (1/4) + (24 - 1) . (7/4) ⇒
a₂₄ = (1/4) + 23 . (7/4) ⇒
a₂₄ = (1/4) + (23.7)/1.4 ⇒
a₂₄ = (1/4) + 161/4 ⇒ (Frações com mesmo denominador não necessitam de cálculo do m.m.c.)
a₂₄ = (1+161)/4 ⇒
a₂₄ = 162/4 ⇒ (Simplificação: dividem-se 162 e 4 por 2.)
a₂₄ = 162(:2)/4(:2) ⇒
a₂₄ = 81/2 (O resultado será mantido na forma fracionária, porque na progressão não foram indicados números decimais.)
Resposta: O 24º termo da PA(1/4; 2; 15/4; ...) é 81/2.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₄ = 81/2 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo quarto termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
81/2 = a₁ + (24 - 1) . (7/4) ⇒
81/2 = a₁ + 23 . (7/4) ⇒
81/2 = a₁ + (23.7)/4 ⇒
81/2 = a₁ + 161/4 ⇒ (Passa-se o termo 161/4 ao primeiro membro, alterando o seu sinal.)
81/2 - 161/4 = a₁ (Veja, abaixo, o cálculo do m.m.c (2,4).)
m.m.c 2, 4 |2
1, 2| 2
1, 1 | 2.2 = 4
→Retomando a equação e nela substituindo m.m.c(2,4) = 4:
81/2 - 161/4 = a₁ ⇒
(2.81/4) - 161/4 = a₁ ⇒
162/4 - 161/4 = a₁ ⇒
(162-161)/4 = a₁ ⇒
1/4 = a₁ ⇒
a₁ = 1/4 (Provado que a₂₄ = 81/2.)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!