Question

Quanto vale a soma: S = 1 + i + 2 + i 2 + 3 + i 3 + 4 + i 4 + … + 99 + i 99 , sabendo que i 2 = - 1.

Answer 1

Resposta:

A resposta é 4.950.

Explicação passo-a-passo:

Para somar os números naturais de 1 a 99, podemos considerar que essa é uma progressão aritmética de razão 1. Assim sendo, podemos utilizar a fórmula da soma de termos de uma PA:

Sn = (a1 + an) ? n

2

S99 = (1 + 99) ? 99

2

S99 = 100 ? 99

2

S99 = 9900

2

S99 = 4950

Vamos agora somar todas as potências de i. Para isso, analisaremos individualmente algumas dessas potências:

i1 = i

i2 = – 1

i3 = – i

i4 = 1

i5 = i

i6 = –1

i7 = – i

i8 = 1

Observe que i1 + i3 = i – i = 0, assim como i2 + i4 = – 1 + 1 = 0. Podemos então afirmar que a soma de quatro potências de i consecutivas resulta em zero. Vemos isso em i + i2 + i3 + i4 = 0 e também em i5 + i6 + i7 + i8 = 0. Vejamos quais são os últimos termos nessas somas (i4 e i8) que possuem expoentes múltiplos de 4. A partir disso, vamos ver qual é a última potência a ser cancelada, dividindo o valor do último expoente por 4: