Question

Quanto mede o lado e o apótema de um decágono regular inscrito em uma circunferência de 15cm de raio.

sen 72°= 0,98
cos 72°= 0,30
tag 72°= 3,07

Answer 1

sen 72º= x sobre 15 cm
0,98= x sobre 15 cm
0,98*15= 14,7 

Answer 2

Bom dia, Merya.

Se pegarmos um dos lados do decágono, e de suas duas extremidades traçarmos uma reta ao centro, formaremos um triângulo isósceles. Por conseguinte, essas retas traçadas coincidem com o raio da circunferência que envolve esse decágono - como mostra a figura.

Primeira forma de encontrar o lado:

Primeiramente, isolaremos um desses dez triângulos - já que o fenômeno acima descrito acontece para todos os lados.
*Um triângulo isósceles, além de dois lados iguais, possui os dois ângulos adjacentes à base iguais também. Portanto:

72°+72°+36°=180° -> a soma dos ângulos internos é igual a 180°, então o triângulo é verdadeiro.

Lei dos Senos:

$\frac{R}{Sen (a)} = \frac{L}{Sen(b)} \\ \\ \frac{15}{Sen(72)} = \frac{L}{Sen(36) } \\ \\ 15*Sen(36)=L*Sen(72) (I)$

Como o exercício não nos forneceu o valor do seno de 36, precisaremos descobri-lo. Perceba que 36 graus é metade de 72 graus, então podemos aplicar o arco-metade.

$Sen( \frac{a}{2})= \sqrt{ \frac{1-cos(a)}{2} } \\ \\ Sen( \frac{72}{2} )= \sqrt{ \frac{1-cos(72)}{2} } \\ \\ Sen(36)= \sqrt{ \frac{0,70}{2} } \\ \\ Sen(36)= \sqrt{0,35} = 0,59$

Voltando à relação ( I ):

$15*Sen(36)=L*Sen(72) (I) \\ 15*0,59=L*0,98 \\ L= \frac{8,85}{0,98} \\ \\ L=9,03$

Segunda forma de encontrar o lado:

Quando  o ângulo oposto à base em um triângulo isósceles é igual a 36 graus, o valor da base é igual ao segmento áureo do lado.

$L= R* \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \\ \\ L=15*0,618 \\ L=9,27$

Nesse segundo método, o valor da base é aproximado.

Falta então, encontrarmos o valor da apótema, que por sua vez, está denotada pela letra A na figura. Perceba que a apótema consiste em um cateto, assim como a metade do lado da base consiste no segundo cateto, sendo o raio R a hipotenusa.

A partir de Pitágoras, temos que

$R^{2} = A^{2} + (\frac{L}{2})^{2} \\ \\ 225=A^{2} + ( \frac{9,03}{2} )^{2} \\ A^{2} =225-(4,51)^{2} \\ A^{2}=225-20,38 \\ A= \sqrt{204,62} \\ A=14,30$

Para concluir, o valor da base é igual a 9,03 centímetros e o da apótema é igual a 14,30 centímetros.

Obs:. a imagem do anexo não foi desenvolvida por mim e é meramente ilustrativa.

Espero ter ajudado.