Question

Quanto é tg x = -1?
Eu sei que tg x = sen x / cos x, mas se ele deu a tangente, como eu acho o angulo?

Answer 1

Como você próprio disse, a tangente é sen x/ cos x. Disso, nós tiramos a conclusão de que o sen x e o cos x são iguais, pois a divisão de dois números iguais resulta em quociente igual a 1 ( salvo a exceção do 0/0). O único ângulo que possui seno e cosseno iguais é o ângulo de 45°. Porém, há o detalhe de que essa tangente é negativa, então, ou o seno ou o cosseno tem de ser negativo. Nunca os dois positivos ou os dois negativos, já que esse fosse o caso, a tangente daria positiva. Então para acharmos a resposta dessa questão, primeiro precisamos descobrir quais ângulos da circunferência trigonométrica ''equivalem'' a 45°:

Se chamarmos o ângulo de 45° de x, então seus ângulos ''equivalentes'' são:
x= 45°
180-x= 180-45= 135°
180+x= 180+45= 225°
360-x= 360-45= 315°

Agora, observando a posição desses ângulo no círculo trigonométrico, conseguimos determinar se seus senos e cossenos são positivos ou negativos, lembrando que todos eles possuem o valor absoluto do seno e cosseno do ângulo de 45°, só mudando de sinal em cada caso.

45°---->  sen45°= √2/2                     ,   cos45°= √2/2
135°-->  sen135°= sen45°=√2/2      ,   cos135°= -cos45°= -√2/2
225°-->  sen225°= -sen45°= -√2/2   ,  cos225°= -cos45°= -√2/2
315°-->  sen315°= -sen45°= -√2/2   ,  cos315°= cos45°= √2/2

Com isso verificamos que os ângulos de 135° e de 315° possuem seno e cosseno de sinais diferentes, portanto qualquer um deles é a resposta para o problema.

Tirando a prova:

tg 135°= sen 135°/ cos 135°
tg 135°=√2/2 / -√2/2
tg 135°= -1

tg 315°= sen 315°/ cos 315°
tg 315°= -√2/2 / √2/2
tg 315°= -1

Answer 2

Uma maneira é memorizando.
 
Se tgx = -1 => x = 135° = 135π/180 = 9π/12 = 3π/4

A outra resolvendo o sistema:

sen²x + cos²x = 1 e senx/cosx = tgx

senx/cosx = -1 => senx = -cosx

(-cosx)² + cos² = 1

cos²x + cosx² = 1

2cos²x = 1

cos²x = 1/2

cosx = -√2/2  ou cosx = √2/2

Logo senx = √2/2 ou senx = -√2/2

Como tgx < 0 + senx > 0 e cosx < 0

x = π - π/4

x = 3π/4