Question

quanto é:

$x^{2} - \frac{1}{ x^{3} } + x^{3} + \frac{1}{ x^{2} } =$

Answer 1

Tu tem que $x - \frac{1}{x} = 3$. Elevando os dois membros ao quadrado temos:

$x^2 - 2.x.\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9 \Rightarrow \underline{x^2+\frac{1}{x^2} = 11}$

Agora elevando-os ao cubo:

$\left( x - \frac{1}{x} \right) ^3 = (3)^3 \Rightarrow x^3 - 3x^2.\frac{1}{x} + 3x.\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} = 27 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^3 - \frac{1}{x^3} - 3x.\frac{1}{3} \left( x - \frac{1}{3} \right) = 27 \Rightarrow  x^3 - \frac{1}{x^3} - 3.3 = 27 \Rightarrow \\ \Rightarrow \underline{x^3 - \frac{1}{x^3} = 36}$

Agora somando...

$x^2 - \frac{1}{x^3} + x^3 + \frac{1}{x^2} = 11 + 36 \\ \boxed{\boxed{x^2 - \frac{1}{x^3} + x^3 + \frac{1}{x^2} = 47}}$