Question

Quanto é $3^{x}+6^{x}=9^{x}$ ?


obs: está claro que x=1, porém eu quero chegar à isso com álgebra

Answer 1

Resposta:

$3^x + 6^x = 9^x\\3^x + (2.3)^x = (3^2)^x \\3^x + (2)^x.(3)^x = 3^{2x}\\3^x(1 + 2) = 3^{2x} \\3^1 = 3^x => x = 1$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf 3^x+6^x=9^x$

$\sf 3^x+6^x=(3^2)^x$

$\sf 3^x+6^x=3^{2x}$

Lembre-se que:

$\sf (a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m$

Assim:

$\sf 6^x=(2\cdot3)^x$

$\sf 6^x=2^x\cdot3^x$

Substituindo:

$\sf 3^x+6^x=3^{2x}$

$\sf 3^x+2^x\cdot3^x=3^{2x}$

Dividindo os dois lados por $\sf 3^x$:

$\sf \dfrac{3^x}{3^x}+\dfrac{2^x\cdot3^x}{3^x}=\dfrac{3^{2x}}{3^x}$

$\sf 1+2^x=3^{2x-x}$

$\sf 1+2^x=3^{x}$

$\sf 3^x-2^x=1$

A diferença entre uma potência de 3 e uma potência de 2, de expoentes iguais, só é igual a 1 quando esses expoentes valem 1, conforme o gráfico de $\sf 3^x-2^x$

Portanto, x = 1