Question

Quanto é o termo central de (x-3)8

Answer 1

$Para \ o \ desenvolvimento \ binomial \ (a \ + \ b)^n \ \Lonrightarrow \\ \\ \boxed{A_{(p \ + \ 1)} \ = \ \binom{n}{p} \ \cdot \ a^{^{(n \ - \ p)}} \ \cdot \ b^{^p}} \\ \\ \\ \circ \ A_{(p \ + \ 1)} \ \rightarrow \ Termo \ geral \ de \ posi\c{c}\~ao \ (p \ + \ 1); \\ \\ \bullet \ \binom{n}{p} \ \rightarrow \ Binomial \ de \ n \ 'escolhe' \ p \ : \ \dfrac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!}; \\ \\ \\ \circ \ n,p \ \in \ \mathbb{N} \ \rightarrow \ coeficientes \ binomiais.$

$Sabendo \ que \ o \ primeiro \ termo \ \'e \ A_{(p \ + \ 1)} \ = \ A_{(1)}, \ temos \ \rightarrow \\ \\ p_{_1} \ + \ 1 \ = \ 1 \ \therefore \ p_{_1} \ = \ 0 \ (para \ o \ primeiro \ termo) \ e \ que \ o \\ desenvolvimento \ vai \ at\'e \ a^{^{(n \ - \ p_{_n})}} \ = \ a^{^0} \ \therefore \ p_{_n} \ = \ n, \ temos \ que \ \rightarrow \\ \\ \circ \ Para \ o \ bin\^omio \ (x \ - \ 3)^8, \ a \ = \ x, \ b \ = \ -3, \ n \ = \ 8, \ os \\ termos \ :$

$\Longrightarrow \ A_{1}, A_{2}, \ A_{3}, \ A_{4}, \ \underbrace{A_{5}}_{\bold{Este \ \'e \ o \ termo \ central}}, \ A_{6}, \ A_{7}, \ A_{8}, \ \underbrace{A_{9}}_{p_{_n} \ + \ 1}$

$Logo, \ para \ o \ termo \ central \ A_{(5)}, \ temos \ : \\ \\ \bullet \ (a,b) \ = \ (x,-3); \\ \\ \circ \ n \ = \ 8; \\ \\ \bullet \ A_{(5)} \ = \ A_{(p_{_5} \ + \ 1)} \ \therefore \ p_{_5} \ = \ 4.$

$A_{(5)} \ = \ \binom{8}{4} \ \cdot \ x^{(8 \ - \ 4)} \ \cdot \ -3^{^4} \ \rightarrow \\ \\ \\ A_{(5)} \ = \ \dfrac{8!}{4! \ \cdot \ 4!} \ \cdot \ x^4 \ \cdot \ 81 \ \rightarrow \\ \\ \\ A_{(5)} \ = \ \dfrac{8 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ \not{6} \ \cdot \ 5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{4!} \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \not{3} \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ 1} \ \cdot \ x^4 \ \cdot \ 81 \ \rightarrow \\ \\ \\ A_{(5)} \ = \ 70 \ \cdot \ 81 \ \cdot \ x^4 \ \rightarrow$

$\boxed{\boxed{A_{(5)} \ = \ 5670 \ \cdot \ x^4 }}} \bold{\ \Longrightarrow \ Termo \ central \ de \ (x \ - \ 3)^8}$