Question

Quanto é Log 5(4x-3)=0,5

Answer 1

Não é possível identificar se o termo "5" é a base ou se faz parte do logaritmando, nesse caso teríamos um logaritmo de base 10, portanto vou deixar a resolução para as duas formas.

Considerando "5" como base do logaritmo:

$\log_{5}(4x-3)~=~0,5$

Aplicando a definição de logaritmo, temos:

$\log_{5}(4x-3)~=~0,5~~\Longleftrightarrow~~4x-3~=~5^{0,5}$

Desenvolvendo a equação obtida, temos:

$4x-3~=~5^{0,5}\\\\\\4x-3~=~5^{\frac{1}{2}}\\\\\\4x-3~=~\sqrt{5}\\\\\\4x~=~\sqrt{5}+3\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{\sqrt{5}+3}{4}}$

Precisamos verificar ainda se este valor atende às condições de existência (C.E) do logaritmo.

$Seja~~log_{_b} a~,~as~C.E's~sao~dadas~da~seguinte~forma:\\\\\\C.E~~~\left\{\begin{array}{ccl}a&>&0\\b&>&0\\b&\ne&1\end{array}\right.$

Neste caso, como a base é 5, um número positivo e diferente de 1, resta verificarmos se o logaritmando é positivo para o "x" determinado anteriormente.

$Para~~x=\dfrac{\sqrt{5}+3}{4}~:\\\\\\Logaritmando~=~4x-3\\\\\\Logaritmando~=~4\cdot\dfrac{\sqrt{5}+3}{4}-3\\\\\\Logaritmando~=~\sqrt{5}+3-3\\\\\\\boxed{Logaritmando~=~\sqrt{5}}$

A raiz quadrada de 5 é um número positivo, portanto foi verificada a C.E do logaritmo e, consequentemente, temos que o "x" calculado é sim solução da equação logarítmica.

Considerando "5" como parte do logaritmando:

$\log\,5\!\cdot\!(4x-3)~=~0,5$

Aplicando a definição de logaritmo, temos:

$\log5\!\cdot\!(4x-3)~=~0,5~~\Longleftrightarrow~~5\cdot(4x-3)~=~10^{0,5}$

Desenvolvendo a equação obtida, temos:

$5\cdot(4x-3)~=~10^{0,5}\\\\\\5\cdot(4x-3)~=~10^{\frac{1}{2}}\\\\\\5\cdot(4x-3)~=~\sqrt{10}\\\\\\4x-3~=~\dfrac{\sqrt{10}}{5}\\\\\\4x~=~\dfrac{\sqrt{10}}{5}+3\\\\\\4x~=~\dfrac{\sqrt{10}+15}{5}\\\\\\x~=~\dfrac{\sqrt{10}+15}{4\cdot5}\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{\sqrt{10}+15}{20}}$

Vamos verificar se atende às C.E's:

$Para~~x=\dfrac{\sqrt{10}+15}{20}~:\\\\\\Logaritmando~=~4x-3\\\\\\Logaritmando~=~4\cdot \dfrac{\sqrt{10}+15}{20}-3\\\\\\Logaritmando~=~\dfrac{\sqrt{10}+15}{5}-3\\\\\\\boxed{Logaritmando~=~\dfrac{\sqrt{10}}{5}}$

O quociente entre raiz quadrada de 10 e 5 é um número positivo, portanto foi verificada a C.E do logaritmo e, consequentemente, temos que o "x" calculado é sim solução da equação logarítmica.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$