Question

Quanto é 3 x mais 1 e por raiz quadrada de x menos 3

Answer 1

Primeiro fazer a condição de existência para x. 
Como estão todos dentro de raiz de índice par, determinar 'x' para que seja maior ou igual a zero. 

(i) 2x + 3 ≥ 0 
(i) 2x ≥ -3 
(i) x ≥ -3 / 2 

(ii) x + 1 ≥ 0 
(ii) x ≥ -1 

(iii) x - 2 
(iii) x ≥ 2 

Fazendo a interseção de sinais entre (i), (ii) e (iii) , x precisa ser maior ou igual a 2. 
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√(2x + 3) - √(x + 1) = √(x - 2) ⇒ Elevando os dois lados ao quadrado 
[√(2x + 3) - √(x + 1)]² = [√(x - 2)]² 
[√(2x + 3)]² - 2 . [√(2x + 3) . √(x + 1)] + [√(x + 1)]² = x - 2 
2x + 3 - 2 . √[(2x + 3) . (x + 1)] + x + 1 = x - 2 
3x + 4 - 2 . √(2x² + 5x + 3) = x - 2 
2x + 6 = 2 . √√(2x² + 5x + 3) ⇒ Elevando de novo os dois lados ao quadrado 
(2x + 6)² = [2 . √(2x² + 5x + 3)]² 
4x² + 24x + 36 = 4 . (2x² + 5x + 3) 
4x² + 24x + 36 = 8x² + 20x + 12 
-4x² + 4x + 24 = 0 
x² - x - 6 = 0 ⇒ Resolvendo por Bhaskara 

∆ = b² - 4ac 
∆ = (-1)² - 4 . 1 . (-6) 
∆ = 1 + 24 
∆ = 25 

x = (-b ± √∆) / 2a 
x = [-(-1) ± √25] / (2 . 1) 
x = (1 ± 5) / 2 

x' = (1 - 5) / 2 
x' = -4 / 2 
x' = -2 ⇒ Não é maior que 2 pela condição de existência. Descarta 

x'' = (1 + 5) / 2 
x'' = 6 / 2 
x'' = 3 ⇒ Como 3 > 2, é uma possível solução 

Conferir se é solução ⇒ 

√(2x + 3) - √(x + 1) = √(x - 2) 
√(2 . 3 + 3) - √(3 + 1) = √(3 - 2) 
√(6 + 3) - √4 = √1 
√9 - √4 = √1 
3 - 2 = 1 
1 = 1 

Confirmou, então 3 é solução. 
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S = {3}