Question

quantidade de algarismos do número 5^40 é igual a:

Answer 1

Dado um número natural  n ≥ 1,  a quantidade de algarismos que formam esse número é dada por

     f(n) = ⌊log₁₀ (n)⌋ + 1


sendo  ⌊x⌋  (leia-se "piso de x")  a notação utilizada para representar a parte inteira do número real  x.

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Para esta tarefa, temos

     n = 5⁴⁰


e dessa forma, a quantidade de algarismos que n possui é

     f(5⁴⁰) = ⌊log₁₀ (5⁴⁰)⌋ + 1

     f(5⁴⁰) = ⌊40 · log₁₀ (5)⌋ + 1          (i)

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Agora, precisamos saber qual é a parte inteira de   40 · log₁₀ (5).

Para isso, vamos precisar aproximar razoavelmente o valor de  log₁₀ (5),  usando uma quandidade adequada de casas decimais que baste o suficiente para determinarmos o valor de  ⌊40 · log₁₀ (5)⌋.


•   Usando aproximação por falta, com  1  casa decimal:

     log₁₀ (5) ≈ 0,6

     log₁₀ (5) = 0,6 + ε₀


onde  ε₀  é o erro cometido nessa aproximação.  Aqui, temos

    0 < ε₀ < 10⁻¹

    0 < ε₀ < 0,1


Somando  0,6  a todos os membros da desigualdade,

     0,6 < 0,6 + ε₀ < 0,6 + 0,1

     0,6 < 0,6 + ε₀ < 0,7

     0,6 < log₁₀ (5) < 0,7          (obviamente)


Multiplicando todos os membros por  40,

     40 · 0,6 < 40 · log₁₀ (5) < 40 · 0,7

     24 < 40 · log₁₀ (5) < 28


Observamos que o comprimento do intervalo que contém  40 · log₁₀ (5)  ainda é maior que  1  unidade, se usarmos essa aproximação para  log₁₀ (5).


•   Usando aproximação por falta, com  2  casas decimais:
 
     log₁₀ (5) ≈ 0,69

     log₁₀ (5) = 0,69 + ε₁


onde  ε₁  é o erro cometido nessa aproximação.  Agora, temos

     0 < ε₁ < 10⁻²

     0 < ε₁ < 0,01


Somando  0,69  a todos os membros da desigualdade,

     0,69 < 0,69 + ε₁ < 0,69 + 0,01

     0,69 < 0,69 + ε₁ < 0,70

     0,69 < log₁₀ (5) < 0,70          (obviamente)


Multiplicando todos os membros por  40,

     40 · 0,69 < 40 · log₁₀ (5) < 40 · 0,70

     27,6 < 40 · log₁₀ (5) < 28,0


Ótimo, pois com apenas duas casas decimais, conseguimos restringir o comprimento do intervalo para menos que  1  unidade:

     27 < 27,6 < 40 · log₁₀ (5) < 28

     27 < 40 · log₁₀ (5) < 28

     27 < 40 · log₁₀ (5) < 27 + 1


Dessa forma,  usando uma aproximação com  2  casas decimais para  log₁₀ (5),

     log₁₀ (5) ≈ 0,69

já conseguimos determinar a parte inteira de  40 · log₁₀ (5):

     ⌊40 · log₁₀ (5)⌋ = 27


e consequentemente, determinamos a quantidade de algarismos do número
n = 5⁴⁰:

     f(5⁴⁰) = ⌊40 · log₁₀ (5)⌋ + 1

     f(5⁴⁰) = 27 + 1

     f(5⁴⁰) = 28


O número  5⁴⁰  possui  28  algarismos.


Bons estudos! :-)