Question

Quantas vezes por dia os ponteiros que indicam horas e minutos em um relógio formam uma linha reta?

Answer 1

Olá.

 

Para que os ponteiros estejam em linha reta, o ângulo formado entre eles deve ser igual a 180°. Para melhor visualizar, adicionei em anexo uma representação gráfica de uma relógio.

 

Devido a rotação do relógio, a cada meio dia haverá 11 retas, logo, no total haverão 22 retas no dia todo.

 

Vamos a uma resolução mais detalhada. Tendo em mente que o ângulo será 180°, podemos usar a fórmula para descobrir o ângulo entre os ponteiros, que apresento abaixo.

 

$\mathsf{\alpha=\dfrac{|11m-60h|}{2}}$

 

Onde:

 

α: ângulo entre os ponteiros;

m: quantidade de minutos;

h: quantidade de horas.

 

O método de resolução mais viável que encontrei foi trocar os valores de h na fórmula por números inteiros, com o intuito de buscar os horários exatos. Antes de tudo, vou manipular brevemente a fórmula, já adicionando o ângulo de 180°, deixando mais fácil para encontrar os minutos.

 

$\mathsf{\alpha=\dfrac{|11m-60h|}{2}}\\\\\mathsf{180=\dfrac{|11m-60h|}{2}}\\\\\mathsf{360=|11m-60h|}$

 

Podemos inverter essa última expressão, ao possibilitar que o 360 seja positivo ou negativa (dois resultados possíveis). Adaptando para conseguir os minutos, teremos:

 

$\mathsf{360=|11m-60h|}\\\\\mathsf{11m-60h=\pm360}\\\\\mathsf{11m=\pm360+60h}\\\\\mathsf{m=\dfrac{\pm360+60h}{11}}$

 

Para o 360 positivo, teremos uma sequência aritmética para cada hora, onde apenas nos importa os valores que são maiores ou igual a 60. Teremos:

 

$\mathsf{m=\dfrac{\pm360+60h}{11}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{+360+60(1)}{11}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{360+60}{11}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{420}{11}}$

 

$\begin{array}{c|cc}\mathsf{h=01}&\mathsf{m=\dfrac{420}{11}=38,\overline{18}}\\\\\mathsf{h=02}&\mathsf{m=\dfrac{480}{11}=43,\overline{63}}\\\\\mathsf{h=03}&\mathsf{m=\dfrac{540}{11}=49,\overline{09}}\\\\\mathsf{h=04}&\mathsf{m=\dfrac{600}{11}=54,\overline{54}}\\\\\mathsf{h=05}&\mathsf{m=\dfrac{660}{11}=60,00}\end{array}$

 

Como para a hora 5 já chegou em 60, finalizo por aqui o uso de 360 positivo. No caso, não existe 5h60min, mas sim apenas 6h.

 

Para dar continuidade ao cálculo, usarei o 360 negativo com as horas após 5. Teremos:

 

$\mathsf{m=\dfrac{\pm360+60h}{11}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{-360+60(6)}{11}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{360-360}{11}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{0}{11}}\\\\\mathsf{m=0}$

 

Seguindo o mesmo padrão, como uma P.A, teremos:

 

$\begin{array}{c|cc}\mathsf{h=07}&\mathsf{m=\dfrac{60}{11}=5,\overline{45}}\\\\\mathsf{h=08}&\mathsf{m=\dfrac{120}{11}=10,\overline{90}}\\\\\mathsf{h=09}&\mathsf{m=\dfrac{180}{11}=16,\overline{36}}\\\\\mathsf{h=10}&\mathsf{m=\dfrac{240}{11}=21,\overline{81}}\\\\\mathsf{h=11}&\mathsf{m=\dfrac{300}{11}=27,\overline{27}}\\\\\mathsf{h=12}&\mathsf{m=\dfrac{360}{11}=32,\overline{72}}\end{array}$

 

Com o que foi mostrado acima, podemos ter certeza que com h igual a 5 e 6 temos um mesmo valor, logo, devemos considerar apenas 1.

 

A cada meio dia tem 11 retas (12 menos 1), logo, em uma dia completo tem-se 22 retas.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

Resposta:

Se chamarmos de x a duração em minutos do tempo que separa duas ocorrências, o ponteiro grande terá andado (360/60)x = 6x graus. O pequeno, doze vezes mais lento, terá andado então 6x/12 = x/2 graus. Em x minutos, o ponteiro grande anda 6x – x/2 = 11x/2 mais que o pequeno. De uma situação de 90 graus até a seguinte, o ponteiro grande tem de girar 180 graus mais que o pequeno, então 11x/2 = 180°, ou, x=360/22, o que dá 32 minutos e 43 segundos, aproximadamente. Em 24 horas a situação se repetirá 24 x 60 : 360/11 = 44 vezes.

Resposta: 44 vezes