Question

Quantas soluções tem o sistema linear
{x – 2y + z = 1
2x + y – 5z = -2
5x – 9z = -3}

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bete, que o sistema da sua questão será um sistema possível e indeterminado (SPI) que explicaremos logo após o porquê disso.
 
i) O sistema é este:

{x - 2y + z = 1               . (I)
{2x + y - 5z = - 2      .      (II)
{5x - 9z = - 3                . (III)

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "2" e, em seguida somaremos, membro a membro, com a expressão (I). Assim teremos:

x - 2y + z = 1 --- [esta é a expressão (I) normal]
4x+2y-10z=-4--- [esta é a expressão (II) multiplicada por "2"]
------------------------------- somando membro a membro, teremos:
5x+0 - 9z = - 3 ---- ou apenas:
5x - 9z = - 3      . (IV)

ii) Agora note que encontramos uma equação (IV) que nada mais é do que a repetição da equação (III). Isso significa que que deveremos encontrar o valor real de cada incógnita em função de uma outra incógnita.
Então vamos tomar a equação (IV) (ou a (III), pois elas são iguais) e vamos encontrar o valor de "x" em função do valor de "z". Assim teremos:

5x - 9z = -3
5x = 9z - 3
x = (9z-3)/5    <--- Este é o valor de "x" em função de "z".

iv) Então vamos na expressão (I) e, no lugar de "x" colocaremos o seu valor em função de z, que é "x = (9z-3)/5".
Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

x - 2y + z = 1 ---- substituindo-se "x" por "9z-3/5", teremos:

(9z-3)/5 - 2y + z = 1 ---- mmc = 5. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(1*(9z-3) - 5*2y + 5*z)/5 = 1 --- desenvolvendo, temos:
(9z-3  - 10y + 5z)/5 = 1 ---- reduzindo os termos semelhantes temos:
(14z - 10y - 3)/5 = 1 ----  multiplicando-se em cruz, teremos:
14z - 10y - 3 = 5*1
14z - 10y - 3 = 5 ----- passando "-3" para o 2º membro, temos:
14z - 10y = 5 +3
14z - 10y = 8
- 10y = 8 - 14z ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", temos:
10y = 14z - 8 --- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos da seguinte forma:

5y = 7z - 4
y = (7z-4)/5  <--- Este é o valor de "y" em função de "z".
 

v) Assim, teremos que o conjunto-solução será este (colocando-se cada incógnita em função de "z"):

x = (9z-3)/5
y = (7z-4)/5
z = z

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y; z} da seguinte, o que é a mesma coisa:

S = {(9z-3)/5; (7z-4)/5; z}.

Note: para qualquer que venha a ser o valor real de "z" encontraremos um valor diferente para cada incógnita, o que vai significar que o sistema é possível e indeterminado (SPI), como afirmamos logo no início.Ou seja, encontraremos infinitas soluções bastando, para isso, atribuirmos um valor real qualquer para "z".


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.