Question

Quantas soluções o sistema possui?

{x + y + z = 0
{2x + 3y + 4z = 0
{x + 2y + 2z = 0

A) nenhuma

B) Uma

C) Duas

D) Três

E) Infinitas

Answer 1

Resolução da questão, veja bem

Para determinar o número de soluções de um sistema aplicamos o Teorema de Rouché-Frobenius, o qual analisa a existência de soluções de um sistema através do posto das matrizes ampliadas e dos coeficientes.

OBS: Posto é o número de linhas não-nulas de uma matriz.

Vamos escrever a matriz aumentada desse sistema e a matriz dos coeficientes, determinando o posto das mesmas.

$\textsf{posto}\begin{pmatrix}\mathsf{1} & \mathsf{1} & \mathsf{1} &\mathsf{0} \\ \mathsf{2}&\mathsf{3} &\mathsf{4} &\mathsf{0} \\ \mathsf{1} &\mathsf{2} & \mathsf{2} &\mathsf{0} \end{pmatrix}}=\mathsf{3}~~\to~\textsf{Matriz~aumentada~do~sistema!}$

$\textsf{posto}\begin{pmatrix}\mathsf{1} & \mathsf{1} & \mathsf{1} \\ \mathsf{2}&\mathsf{3} &\mathsf{4} \\ \mathsf{1} &\mathsf{2} & \mathsf{2} \end{pmatrix}}=\mathsf{3}~~\to~\textsf{Matriz~dos~coeficientes~do~sistema!}$

Vemos que o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada do sistema, dessa forma concluímos que o sistema é possível e determinado, possuindo solução única.

Nesse caso, como o sistema é homogêneo, podemos até mesmo dizer a solução para o mesmo, que é:

S = {0;0;0}

Alternativa B é a correta!!

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!