Question

quantas soluções da equação sen² x= 2 sen x, pertencem ao intervalo [0;2π ]

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ana, que a resolução é simples.
Pede-se o número de soluções da expressão abaixo, sabendo-se que o arco "x" está no intervalo [0; 2π], ou seja, o arco está no intervalo de toda a circunferência trigonométrica:

sen²(x) = 2sen(x) --- vamos passar o 2º membro para o primeiro, ficando assim:
sen²(x) - 2sen(x) = 0 ---- para facilitar, vamos fazer sen(x) = y. Com isso, ficaremos da seguinte forma;

y² - 2y = 0 ----- vamos colocar "y" em evidência, ficando assim:
y*(y - 2) = 0 ----- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
y = 0 ----> y' = 0

ou
y - 2 = 0 ---> y'' = 2.

Mas lembre-se que fizemos sen(x) = y. Assim, teremos:

i) Para y = 0, teremos;

sen(x) = 0 ---- veja que o seno é igual a zero, em toda a circunferência [ou seja, no intervalo [0; 2π] nos arcos de 0º (ou de 0 radianos) e de 180º (ou de π radianos).

ii) para y = 2, teremos;

sen(x) = 2 <--- Impossível. Note que o seno varia, em toda a circunferência trigonométrica, apenas entre "-1" e "+1". Então se temos sen(x) = 2 é simplesmente impossível isto ocorrer.

iii) Portanto, ficamos apenas com os resultados de sen(x) = 0, quando vimos que a expressão da sua questão tem apenas:

2 soluções e que são: x = 0 , ou x = π <--- Esta é a resposta.

É isso aí.l
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.