Question

Quantas soluções a equação trigonométrica sen²x + cosx = 5/4 admite no intervalo [0,2pi]?

Answer 1

Resposta:

Vamos lá.

Bem, você informa que não tem opções.

Então a ser verdade que o intervalo do arco "x" será o que está dado, que é este:

[0; 80π], poderemos fazer o seguinte, a partir da equação dada, que é esta:

sen(x) = √(1-cos(x) ) ---- vamos elevar ambos os membros ao quadrado, para eliminar o radical do 2º membro. Com isso, ficaremos com:

sen²(x) = 1 - cosx ----- agora note que sen²(x) = 1-cos²(x). Então, substituindo sen²(x) por "1-cos²(x), ficaremos assim:

1 - cos²(x) = 1 - cos(x) ---- vamos passar o 2º membro para o 1º, ficando:

1 - cos²(x) - 1 + cos(x) = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

- cos²(x) + cos(x) = 0 ---- note que poderemos multiplicar ambos os membros por "-1" sem nenhum problema, com o que ficaremos assim:

cos²(x) - cos(x) = 0 ---- agora vamos colocar cos(x) em evidência, ficando:

cos(x)*[cos(x) - 1] = 0 ---- note que temos aqui um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Então teremos estas possibilidades:

ou

cos(x) = 0 -----> cos(x)' = 0

ou

cos(x) - 1 = 0 -----> cos(x)'' = 1

Agora veja: em todo o círculo trigonométrico o cosseno é "0" nos arcos de 90º (ou π/2) e 270º (ou 3π/2).

E, também em todo o círculo trigonométrico, o cosseno é igual a "1" no arco de 0º (ou 0).

Mas antes vamos ver se os arcos de 90º (ou π/2), de 270º (ou 3π/2) e de 0º verificam a expressão original, que é esta: sen(x) = √(1-cos(x) ).

i) Para x = 90º (ou π/2), teremos:

sen(90º) = √(1-cos(90º) ---- como sen(90º) = 1 e cos(90º) = 0, teremos:

1 = √(1 - 0)

1 = √(1) ----- como √(1) = 1, teremos:

1 = 1 ------- Perfeito. Então o arco de 90º é uma raiz válida em todo o círculo trigonométrico.

Explicação passo a passo: