Question

Quantas senhas com 5 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

São cerca de 9 número(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Como ele quer que sejam diferentes então será 9.8.7.6.5 =15.120

Answer 2

Resposta:

Poderemos escrever 15.120 senhas, com 5 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Explicação passo a passo:

A Tarefa nos propõe determinar o número de senhas, com 5 algarismos diferentes, que podemos escrever com os algarismos de 1 a 9.

Para a resolução do exercício, nós podemos utilizar tanto o Princípio Fundamental da Contagem, quanto a Fórmula do Arranjo Simples.

Iniciemos, utilizando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que comporão a senha, nós teremos a seguinte situação:

• 9 opções de números para o algarismo das unidades;
• 8 opções de números para o algarismo das dezenas, haja vista que já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e não pode haver repetição de algarismos;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e 1 algarismo na casa das dezenas;
• 6 opções para o algarismo do milhar, pois já foram utilizados 3 algarismos, anteriormente;
• 5 opções para o algarismo da dezena do milhar, pois já foram usados 4 algarismos, anteriormente.

Assim, o número de senhas será dado pela seguinte multiplicação:

$9\times8\times7\times6\times5=72\times42\times5=15.120~senhas$

Uma outra maneira de resolvermos a Tarefa consiste no uso de fórmula de análise combinatória.

Para nós identificarmos qual fórmula utilizar, devemos entender que a ordem dos algarismos é muito importante. Por exemplo, a senha 12345 é diferente da senha 54321, embora tenham sido empregados os mesmos algarismos: 1, 2, 3, 4, 5.

Portanto, a fórmula que iremos empregar é a fórmula do arranjo simples de 9 elementos (algarismos de 1 a 9) para serem agrupados de 5 a 5 (senhas com 5 algarismos diferentes).

Eis o cálculo:

$A_{9,5}=\frac{9!}{(9-5)!}\\A_{9,5}=\frac{9!}{4!}\\A_{9,5}=\frac{9\times8\times7\times6\times5\times4!}{4!}\\A_{9,5}=9\times8\times7\times6\times5\\A_{9,5}=72\times42\times5\\A_{9,5}=15.120~senhas$

Poderemos escrever 15.120 senhas, com 05 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.