Question

Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?​

Answer 1

Resposta:

3024  opções de senhas

Explicação passo-a-passo:

Usando o princípio fundamental da contagem.

9 opções para o algarismo das unidades;

8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;

7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;

6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.

O número de senhas será dado por:

9x8x7x6 = 3 024 senhas

Usando a fórmula

Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.

Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:

A com 9 vírgula 4 subscrito fim do subscrito igual a numerador 9 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 9 menos 4 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 9 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a numerador 9.8.7.6.5 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a 9.8.7.6 igual a 3 espaço 024 espaço s e n h a s

Answer 2

Resposta:

Poderemos escrever 3.024 senhas, com 4 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Explicação passo a passo:

A Tarefa nos propõe determinar o número de senhas, com 4 algarismos diferentes, que podemos escrever com os algarismos de 1 a 9.

Para a resolução do exercício, nós podemos utilizar tanto o Princípio Fundamental da Contagem, quanto a Fórmula do Arranjo Simples.

Iniciemos, utilizando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que comporão a senha, nós teremos a seguinte situação:

• 9 opções de números para o algarismo das unidades;
• 8 opções de números para o algarismo das dezenas, haja vista que já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e não pode haver repetição de algarismos;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na casa das unidades e 1 algarismo na casa das dezenas;
• 6 opções para o algarismo do milhar, pois já foram utilizados 3 algarismos, anteriormente.

Assim, o número de senhas será dado pela seguinte multiplicação:

$9\times8\times7\times6=72\times48=3.024~senhas$

Uma outra maneira de resolvermos a Tarefa consiste no uso de fórmula de análise combinatória.

Para nós identificarmos qual fórmula utilizar, devemos entender que a ordem dos algarismos é muito importante. Por exemplo, a senha 1234 é diferente da senha 4321, embora tenham sido empregados os mesmos algarismos: 1, 2, 3, 4.

Portanto, a fórmula que iremos empregar é a fórmula do arranjo simples de 9 elementos (algarismos de 1 a 9) para serem agrupados de 4 a 4 (senhas com 4 algarismos diferentes).

Eis o cálculo:

$A_{9,4}=\frac{9!}{(9-4)!}\\A_{9,4}=\frac{9!}{5!}\\A_{9,4}=\frac{9\times8\times7\times6\times5!}{5!}\\A_{9,4}=9\times8\times7\times6\times5\\A_{9,4}=3.024~senhas$

Poderemos escrever 3.024 senhas, com 04 algarismos diferentes, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.