Question

Quantas s˜ao as solu¸c˜oes inteiras da equa¸c˜ao:
x + y + z + t + w ≤ 12, onde x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3, t > 0 e w > 2.

Answer 1

Num problema de soluções inteiras não-negativas da forma:

$x_1+x_2+...+x_n=p$

O número de soluções é dado por: $\displaystyle{n+p-1\choose p}=\dfrac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!}~~(i)$.

Na questão dada, há variáveis limitadas por baixo. Para contornarmos esse problema, podemos fazer uma substituição de variáveis:

$x\geq1\Longrightarrow x=1+x'\\\\ y\geq2\Longrightarrow y=2+y'\\\\ z\geq3\Longrightarrow z=3+z'\\\\ t\ \textgreater \ 0\Longrightarrow t=1+t'\\\\ w\ \textgreater \ 2\Longrightarrow w=3+w'$

Repare que agora todas as variáveis com índice linha (') podem variar de 0 para cima, não possuindo mais a limitação por baixo. Reescrevendo a inequação dada com as novas variáveis:

$x+y+z+t+w\leq12\\\\ (1+x')+(2+y')+(3+z')+(1+t')+(3+w')\leq12\\\\ x'+y'+z'+t'+w'\leq2~~~(ii)$

Agora, vamos dividir a inequação em casos, para aplicarmos diretamente o resultado conhecido de (i):

$\bullet~x'+y'+z'+t'+w'=0\\\\\Longrightarrow \dfrac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!}=\dfrac{(5+0-1)!}{0!(5-1)!}=\dfrac{4!}{4!}=1\\\\\\ \bullet~x'+y'+z'+t'+w'=1\\\\\Longrightarrow \dfrac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!}=\dfrac{(5+1-1)!}{1!(5-1)!}=\dfrac{5!}{1\cdot4!}=5\\\\\\ \bullet~x'+y'+z'+t'+w'=2\\\\\Longrightarrow \dfrac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!}=\dfrac{(5+2-1)!}{2!(5-1)!}=\dfrac{6!}{2\cdot4!}=\dfrac{6\cdot5}{2}=15$

Somando os resultados de cada caso chegamos à resposta final: $1+5+15=\boxed{21}$ soluções.