Question

Quantas raízes tem x³-27=0? Todas as raízes, por favor...

Answer 1

olá. como a equacao é de terceiro grau, teremos 3 raízes, sendo 1 real e 2 complexas. Para calcularmos raízes complexas, temos que efetuar a radiciacao de numeros complexos, onde o numero se encontra na sua forma trigonometrica. Assim, vamos encontrar a forma trigonometrica de 27.
27 tambem pode ser representado como 27+0i, onde 27 é a parte real e 0 a imaginaria. Primeiro comecaremos achando o modulo e depois o argumento. Para achar o modulo, faremos
|27|= = √(a² + b²)
Assim, |27|= = √(27 ²+ 0 ²)= 27
Portanto, o modulo de 27 é 27.
Ja o argumento pode ser encontrado com
cos a= 27/27 e sen a=0/27
Assim, o cos é 1 e o sen é 0, portanto o angulo é 0.
Dessa maneira, a forma trigonometrica sera 27=27[(cos0+(isen0)]
Na radiciacao, tambem chamada de formula de moivre caso voce queira dar uma olhada, teremos:
∛(27) = ∛(27)[cos(0º/3 + 2kπ/3) + isen(0º/3 + 2kπ/3)]
Como ∛(27)=3 podemos fazer assim
3[cos(0º/3 + 2kπ/3) + isen(0º/3 + 2kπ/3)]

O proximo passo no processo é substituir as incognitas k por 0,1,2 visto que a equacao tem 3 raizes.

Para k=0, teremos
3[cos(0/3+2*0* π/3)+isen(0/3+2*0* π/3)
3[cos0 +isen0] —> 3 é uma raiz

Para k=1
3[cos (0/3+2*1* π/3)+isen((0/3+2*1* π/3)
3[cos (2 π/3) + isen(2 π/3)
(2 π/3) tem os mesmos valores que o angulo de 60, porem cos é negativo e sen positivo, pois esta no 2 quadrante:
3*(-1/2) + 3* √3i/2 ou seja -3/2 + 3i √3/2 é outra raiz

Para k=2
3[cos (0/3+2*2* π/3)+ isen (0/3+2*2* π/3)]
3[cos (4 π/3) + isen (4 π/3)]
(4 π/3) tambem possui os mesmos valores de 60, mas ambos cosseno e seno sao negativos, pois esta no 3 quadrante, assim:
3*(-1/2) + 3*(-√3i/2) , entao -3/2 -3i√3/2 é a ultima raiz
Como pode perceber, quando temos uma raiz complexa sempre havera outra raiz complexa, sendo uma a conjugada da outra, assim nao precisa calcular sempre.
Qualquer duvida pergunte

Answer 2

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

(a-b)³ =a³-b³-3ab*(a-b)

a³-b³=(a-b)³+3ab*(a-b)

a³-b³=(a-b)*[(a-b)²+3ab]

a³-b³=(a-b)*(a²+b²+ab)

fazendo a =x e b=3

x³-3³=(x-3)*(x²+3²+3x)

x³-27 =(x-3)*(x²+3x+9)

x-3=0 ==> x'=3

x²+3x+9=0

x''=[-3+√(9-36)]/2=(-3+3i√3)/2

x'''=[-3-√(9-36)]/2=(-3-3i√3)/2

Resposta: 3 ; (-3+3i√3)/2 ; (-3-3i√3)/2