Question

Quantas raízes inteiras tem a equação x^6 -7x^4+14x²-8 ?
Gabarito deu 4 raízes tentei mas não consegui ajudem

Answer 1

Resposta:

O método mais conveniente e talvez menos engenhoso seria por meio da análise dos divisores inteiros do termo independente.É sabido que as raízes inteiras de um polinômio pertencem necessariamente ao conjunto dos divisores de seu termo independente.Logo,no caso,se existirem raízes inteiras,estas devem ser divisores de -8 (-1,1,-2,2,-4,4,-8,8).Vamos calcular o valor resultante do polinômio para cada valor.

I.x=1

1^6-7*1^4+14*1^2-8=1-7+14-8=0

O valor obtido para x = -1 também será 0,visto que as potências de x permanecerão positivas.Na verdade,isso implica que não precisamos calcular os valores para os números negativos pela mesma razão.

II. x = 2

2^6-7*2^4+14*2^2-8=64-112+56-8=0

Consequentemente, x = -2 também dará zero.

III. x = 4

4^6-7*4^4+14*4^2-8 = 4^2(4^4-7*4^2+14)-8 = 16(256-112+14)-8=16*158-8 ≠ 0

IV. x=8

8^6-7*8^4+14*8^2-8 = 8^4(8^2-7)+8(14*8-1) ≠ 0

Logo, as raízes são -1,1,-2,2,ou seja, quatro raízes inteiras.

Um método alternativo de resolução seria por fatoração.Porém,isso requer um pouco mais de engenhosidade e poder de observação.No caso,podemos realizar a fatoração da seguinte maneira:

x^6 -7x^4+14x^2-8 = (x^6-8)+(-7x^4+14x^2) = ((x^2)^3-2^3) + (-7x^2(x^2-2)) = (x^2-2)(x^4+2x^2+4) -7x^2(x^2-2) = (x^2-2)(x^4-5x^2+4)

Veja que na fatoração de x^6-8 usamos o fato de que a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).

Transformamos a expressão em um produto de dois polinômios,um do segundo grau e o outro do quarto.Assim,para que haja raízes,devemos ter:

I. x^2-2=0 => x^2=2

Não há x  inteiro que satisfaça isso.

Ou

II. x^4-5x^2+4=0

Aqui está uma equação biquadrada.Fazendo y=x^2,ficamos com:

y^2-5y+4=0

Δ=25-16 = 9 => √Δ = 3

y' = (5+3)/2 = 4 (primeira raiz)

y" = (5-3)/2 = 1 (segunda raiz)

Agora,devemos calcular x para cada valor de y.Para y=4,temos que x = -2 ou x = 2. Já para y = 1 , x = -1 ou x = 1.Portanto,as raízes encontradas foram -1,1,-2,2 (as mesmas raízes encontradas com o primeiro método de resolução).