Question

Quantas raízes cúbicas possui o número complexo z=1+i?

Escolha uma:
a] 0
b] 1
c] 2
d] 3

Answer 1

Note que a norma |z|=$\sqrt{1^2+1^2}$=$\sqrt{2}$, e lembre que 

z= |z|.(cos$\alpha$+isen$\alpha$). Assim, 

sen$\alpha$= 1/$\sqrt{2}$ =$\frac{ \sqrt{2} }{2}$

cos$\alpha$= $\frac{ \sqrt{2} }{2}$

logo $\alpha$ é 45°.

Lembre também que pela identidade de euler $e^{i \alpha } =cos \alpha +isen \alpha$ deduzimos

z = $|z| e^{i.\pi 4}$.

Adicionando 2π ao argumento de z, obtemos todos os valores do número complexo sem afetar z.
 
$z=|z| e^{i\pi 4+2\pi n}$ para todo n natural.

$2^{ \frac{1}{6} } e^{i\frac{\pi}{12}+ \frac{2\pi n}{3} } = 2^{ \frac{1}{6} } e^{\frac{i(\pi+8\pi n) }{12} }$

Como a raiz é cúbica, devemos ter 3 raízes, a saber

$n=0, z^{ \frac{1}{3} } = 2^{ \frac{1}{6} } e^{\frac{i\pi }{12} }$

$n=1, z^{ \frac{1}{3} } = 2^{ \frac{1}{6} } e^{\frac{i3\pi }{4} }$

$n=2, z^{ \frac{1}{3} } = 2^{ \frac{1}{6} } e^{\frac{i12\pi }{12} }$


A correta é a alternativa d)

bons estudos



Obs: Se não fosse a identidade de Euler, acabariamos por explorar a fórmula da imagem.